Question

Решить неравенство 5x^2-9x-2/(x-2)(x^2-3x-4)

Answer 1

$\frac{5x^2-9x-2}{(x-2)(x^2-3x-4)} \leq -1; \ \frac{5x^2-9x-2}{(x-2)(x^2-3x-4)}+1 \leq 0; \\ \frac{5x^2-9x-2+(x-2)(x^2-3x-4)}{(x-2)(x^2-3x-4)} \leq 0; \ \frac{5x^2-9x-2+x^3-3x^2-4x-2x^2+6x+8}{(x-2)(x^2-3x-4)} \leq 0; \\ \frac{x^3-7x+6}{(x-2)(x^2-3x-4)} \leq 0;$
В качестве попытки упрощения выражения можно попробовать разделить числитель и знаменатель на (х-2) - подобные попытки нередко бывают успешны. Делить будем "в столбик", по правилу деления многочлена на многочлен.
$x^3-7x+6 \ | x-2} \\ \underline{x^3-2x^2} \qquad \overline{x^2+2x-3} \\ 2x^2-7x \\ \underline{2x^2-4x} \\ -3x+6 \\ \underline{-3x+6} \\ 0$
Деление получилось без остатка, поэтому можно выражение сократить на (х-2), записав в ОДЗ х ≠ 2
$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-4} \leq 0;$
Разложим числитель и знаменатель на множители, для чего отдельно числитель и знаменатель приравняем нулю и решим полученные квадратные уравнения.
$x^2+2x-3=0; \ D=4+12=16; \ x= \frac{-2\mp4}{2}; \ x_1=-3; \ x_2=1; \\ x^2-3x-4=0; \ D=9+16=25; \ x= \frac{3\mp5}{2}; \ x_1=-1; \ x_2=4$
Приходим к неравенству:
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)(x-4)}\le 0;$
Добавляем к ОДЗ: x ≠ -1; x ≠ 4
Метод интервалов заключается в следующем. Мы получили 4 точки, в которых левая часть неравенства обращается в ноль или терпит разрыв: -3; -1; 1; 4. Наносим их на числовую ось, туда же добавляем (но не рассматриваем как добавочное разбиение на интервалы) ОДЗ x ≠ 2. Не рассматриваем потому, что значение х = 2 не обращает левую часть неравенства в ноль и не является точкой разрыва.
-∞ ---------- -3 ------ (-1) ---------------- 1 ------ (2) -------------- (4) --------- +∞
Скобками показано, что точки -1, 2 и 4 являются "пробитыми", т.е. не входят в область допустимых значений переменной.
Теперь задаем значения для х на каждом полученном отрезке и проверяем знак левой части. И наносим полученные знаки на наш рисунок.
       (+)                          (+)                                            (+)
-∞ ---------- -3 ------ (-1) ---------------- 1 ------ (2) -------------- (4) --------- +∞
                     (-)                                      (-)
Осталось выписать интервалы, где выражение в левой части меньше или равно нулю и объединить их с ОДЗ:
x ∈ [-3;-1) ∨ [1;2) ∨ (2;4)
        

Answer 2

$\frac{5x^2-9x-2}{(x-2)(x^2-3x-4)} +1 \leq 0 \\ \frac{x^3-7x+6}{(x-2)(x^2-3x-4)} \leq 0$

1. Рассмотрим функцию и определим область определения функции

$y=\frac{x^3-7x+6}{(x-2)(x^2-3x-4)}$

Знаменатель не должен равен 0

$x-2 \neq 0 \\ x_1 \neq 2 \\ x^2-3x-4 \neq 0 \\ D=b^2-4ac=(-3)^2-4*1*(-4)=9+16=25 \sqrt{D} =5 \\ x_2 \neq \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} \neq \frac{3+5}{2} \neq 4 \\ x_3 \neq \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} \neq \frac{3-5}{2} \neq -1$

$D(y)=(-\infty;-1)U(-1;2)U(2;4)U(4;+\infty)$

2. Определяем нули функции

$y=0;\frac{x^3-7x+6}{(x-2)(x^2-3x-4)}=0 \\ x^3-7x+6=0 \\$

Подбором: x=1

Делим $\frac{x^3-7x+6}{x-1}$ - смотреть во вложения

Ноли будут -3 и 2 - решено во вложения

3. Знаки на промежутке( во вложение вторая картинка)

ответ: x ∈ $(-3;-1)U[1;2)U(2;4]$