Берем производную. Если производная положительна - функция возрастает, если отрицательна - убывает. Если производная равна нулю, это точка перегиба. f(x) = tg²(x) f'(x) = 2 tg(x) * (tg(x))' = 2 sin(x) ÷ cos³(x) Далее, методом интервалов. Ищем корни f'(x) = 0 sin(x) = 0 Корни: x = πk, k - целое Осталось определить знаки. В первой четверти и синус, и косинус положительны. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны.Значит в точках из промежутка [ 0+πk ; π/2 + πk ] функция возрастает. Иначе убывает.
2. Интегрируем обе части уравнения. Для левой части воспользуемся формулой интегрирования ln(u):
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫dx
Левая часть уравнения может быть интегрирована следующим образом:
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫(√y + cosx)^(-1) dy
Для интегрирования этого выражения мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть u = √y + cosx, тогда у нас будет:
dy = 2u * du
∫(√y + cosx)^(-1) dy = ∫2/u du = 2ln|u| + C1
Правую часть уравнения мы интегрируем просто как ∫dx = x + C2.
Теперь у нас есть:
2ln|√y + cosx| + C1 = x + C2
3. Далее, мы можем объединить константы C1 и C2 в одну константу C:
2ln|√y + cosx| = x + C
4. Теперь возведем обе части уравнения в экспоненту:
|√y + cosx| = e^((x + C)/2)
Мы можем убрать модуль, так как величина √y + cosx всегда положительная (так как корень квадратный и косинус всегда неотрицательные).
√y + cosx = e^((x + C)/2)
5. Теперь мы можем выразить y:
√y = e^((x + C)/2) - cosx
Возводим обе части в квадрат:
y = e^(x/2 + C/2) - 2*cosx*e^((x + C)/2) + e^C
6. Теперь нам нужно найти значение константы C, используя начальное условие y(1) = 1.
Подставляем x = 1, y = 1 в уравнение и решим его для C:
1 = e^(1/2 + C/2) - 2*cos(1)*e^((1 + C)/2) + e^C
Это уравнение может быть решено численно с использованием итерационных методов, например, метод Ньютона-Рафсона или метод бисекции. После того, как найдено значение константы C, мы можем подставить ее в уравнение для y и получить окончательное решение.
Отрезок [1:4] нам нужен для определения значения y в интервале 1 ≤ x ≤ 4, используя найденное решение.
Это довольно сложный пример для школьника, но я постарался описать каждый шаг подробно и обоснованно. Если у вас возникли вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне!
Для вычисления площади круга, нам нужно знать радиус круга, так как формула для площади круга выглядит следующим образом: S = πr², где S - площадь круга, π - число Пи (приближенное значение равно 3.14159), r - радиус круга.
В данной задаче нам дана хорда FE, которая равна 3,9 см, и центральный угол ∢EOF, который равен 60°. Чтобы найти радиус круга, нам понадобится применить теорему синусов для треугольника EOF.
Теорема синусов гласит: в треугольнике со сторонами a, b и c, и противолежащими углами A, B и C соответственно, справедливо соотношение a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C).
В данном случае, сторонами треугольника являются отрезки EO, EO и OF, и противолежащими углами являются углы ∢EOF, ∢EOF и ∢FEO. По условию, известны EO = EO (эти отрезки равны), OF = 3.9 см, и ∢EOF = 60°. Мы хотим найти отрезок EO, который является радиусом круга.
Пользуясь теоремой синусов, мы можем записать соотношение для треугольника EOF:
EO / sin(∢EOF) = OF / sin(∢FEO)
Заменяя известные значения, получаем:
EO / sin(60°) = 3.9 см / sin(∢FEO)
Так как sin(60°) = √3 / 2, мы можем упростить выражение:
EO / (√3 / 2) = 3.9 см / sin(∢FEO)
Умножаем обе стороны на (√3 / 2):
EO = (3.9 см / sin(∢FEO)) * (√3 / 2)
Теперь мы должны найти значение sin(∢FEO). В треугольнике EOF, угол ∢FEO равен 180° - ∢EOF. Подставляя ∢EOF = 60°, получаем:
∢FEO = 180° - 60° = 120°
Таким образом, sin(∢FEO) = sin(120°). Поскольку sin(120°) = √3 / 2, подставляем это значение:
EO = (3.9 см / (√3 / 2)) * (√3 / 2)
Отменяем (√3 / 2) с обеих сторон:
EO = 3.9 см
Таким образом, радиус круга равен 3.9 см. Используя формулу для площади круга, посчитаем площадь:
S = π * (3.9 см)²
S = π * 3.9 см * 3.9 см
S ≈ 3.14159 * 3.9 см * 3.9 см
S ≈ 47.74599 см²
Таким образом, площадь круга составляет приблизительно 47.75 см².
f(x) = tg²(x)
f'(x) = 2 tg(x) * (tg(x))' = 2 sin(x) ÷ cos³(x)
Далее, методом интервалов.
Ищем корни f'(x) = 0
sin(x) = 0
Корни: x = πk, k - целое
Осталось определить знаки. В первой четверти и синус, и косинус положительны. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны.Значит в точках из промежутка [ 0+πk ; π/2 + πk ] функция возрастает. Иначе убывает.