Question

Применение производной и к исследованию функций и построение графиков y= 1/2 x^2 - x - 4

Answer 1

$y=\frac{x^2}{2}-x-4$

Выполним построение опираясь на геометрический смысл производной и не только. Для начала найдём все пересечения с осями координат.

$y(0)=\frac{0^2}{2}-0-4=-4,(0;-4)\\y=\frac{x^2}{2}-x-4=0;D=1+8=3^2\\x=1\pm 3,(-2;0),(4;0)$

Выделим полный квадрат.

$y=\frac{1}{2}(x^2-2*1x+1-1)-4=\frac{1}{2}(x-1)^2-0.5-4=\\\frac{1}{2}(x-1)^2-4.5$

Из этого следует, что для (x-1) функция чётная, то есть имеет вертикальную ось симметрию, поэтому для нашей функций x=1 это вертикальная ось симметрии.

Теперь найдём первую производную.

$y'=(\frac{1}{2}x^2)'-x'-4'=(\frac{1}{2})*(x^2)'-1*x^0-0=\\\frac{1}{2}*2x^{1}-1=x-1$

Если x>1, то производная положительная, значит функция возрастает.

Если x<1, то производная отрицательная, значит функция убывает.

При х=1, производная равна нулю и меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому это минимум функции.

$y(1)=\frac{1^2}{2}-1-4=-4.5,(1;-4.5)$

Теперь найдём вторую производную.

$y''=(y')'=(x-1)'=1*x^0-0=1$

Как видно производная всегда всегда положительная, поэтому функция всегда выпукла вниз.

Смотри построение внизу.