Question

Укажите число целых решений неравенства |3-2x|

Answer 1

|3-2x|<x+1 равносильно системе
 $\left \{ {{3-2x<x+1} \atop {3-2x-(x+1)}} \right.$ 
$\left \{ {{-2x-x<1-3} \atop {-2x+x-1-3}} \right. \\ \left \{ {{-3x<-2} \atop {-x-4}} \right. \\ \left \{ {{x \frac{2}{3} } \atop {x<4}} \right.$
т.е. решением является промежуток (2/3;4), а число целых решений на отрезке [0;4] получается 3: это 1, 2, 3

Answer 2

|3-2x|<x+1
Поскольку выражение под знаком модуля может иметь разные знаки, то рассматриваем два случая
1) 3-2x≥0
Найдем, при каких значениях х это выполняется
-2x≥-3
Делим на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
x≤1.5
По определению модуля
|3-2x|=3-2x
Тогда исходное выражение принимает вид
3-2x<x+1
-3x<-2
x<2/3
Следовательно
$\left \{ {{x \leq 1.5} \atop {x \frac{2}{3}}} \right.$
Решение в этом случае:
x∈(2/3;1.5]
2) 3-2x<0
-2x<-3
x>1.5
По определению модуля
|3-2x|=-(3-2x)=2x-3
Тогда исходное выражение принимает вид
2x-3<x+1
x<4
Следовательно
$\left \{ {{x1.5} \atop {x<4}} \right.$
Решение в этом случае:
x∈(1.5;4)
Окончательное решение:
x∈(2/3;1.5]U(1.5;4)
x∈(2/3;4)
Целые решения:
1,2,3
Все они принадлежат указанному отрезку [0;4]. Их число: 3
ответ: 3

Второй
Число целых чисел на отрезке  [0;4] всего 5. Это 0,1,2,3,4
Можно просто подставить их в данное неравенство и проверить, какие подходят
1) х=0
|3-2*0|<0+1
3<1 - неверно
2) х=1
|3-2*1|<1+1
1<2 - верно
3) х=2
|3-2*2|<2+1
1<3 - верно
4) х=3
|3-2*3|<3+1
3<4 - верно
5) х=4
|3-2*4|<4+1
5<5 - неверно
Итого, три правильных решения
ответ: 3