Question

Шестизначное число называется счастливым, если сумма его трех первых цифр равна сумме трех последних. докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. заранее тому умному человеку, кто )

Answer 1

Положим что $a_{1}b_{1}c_{1}$ первые три цифры числа , то $a_{2}b_{2}c_{2}$ последние 
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$   по условию следует что  нет ограничения на числа $a_{1}=b_{1}=c_{1}=a_{2}=b_{2}=c_{2}$ 
то ест к примеру    числа $126126$   так же является шестизначным , если учитывать это  
Видно так же $a_{1} \neq 0$ 
Заметим так же что при $123123$  вида чисел 
$1001*a_{1}b_{1}c_{1}$  
То есть сами числа вида  $a_{1}b_{1}c_{1}a_{1}b_{1}c_{1}$  и их сумма делится на $13\\ 1001=7*11*13$ 
Тогда $a_{1}b_{1}c_{1}a_{2}b_{2}c_{2}$  
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$ 
То есть  сумма одна и та же  , значит  число    суть  этого  
 $a_{1}b_{1}c_{1}*1001$+$a_{2}b_{2}c_{2}*1001$ 
  и значит сумма всех цифр  делится на  $11*13*7$ 

 

Answer 2

Разобьем   все   счастливые  числа на  2  числа вида
N1*1000+N2    у  каждого  числа  N2  есть  число вариантов   представление его  в виде суммы 3   цифр  мы  не   будем   выводить  его   формулу,а  просто обозначим Ф(N).   Тода  сумму   всех счастливых чисел   можно представить  в виде:(если   складывать  отдельно  похожие части)
(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk))+1000*(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk))=
1001(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk)) то  есть   делится на 1001 =7*11*13
А  значит   сумма   делится на 13