Question

Sin (x+4пи/3) = 2 sin (4пи/3 - x) sin x cos^2 x - 1/2sin^2 x - 1/4sin x + 3/8 =0

Answer 1

1) Вычислим  sin (4π/3)=sin (π+π/3)=sin π/3=√3/2 ,
                     сos (4π/3)=cos(π+π/3)=-сosπ/3=-1/2

по формулам приведения угол π+π/3 во второй четверти, синус во второй четверти имеет знак "+", косинус во второй четверти имеет знак "-"

Применим формулу синуса суммы к левой части уравнения и синуса разности к правой части уравнения:
sin x · cos (4π/3) + сos x · sin (4π/3) = 2 · sin (4π/3) · сos x -  2 · cos 4π/3 · sin x
Заменим sin (4π/3)=√3/2 , сos (4π/3)=-1/2, получим

-(sin x )/2 +(√3·cosx)/2=√3 сos x + sin x
или
√3 cos x +3 sinx =0
cos x и sin x одновременно равняться нулю не могут ( если один 0, то другой 1 или -1), поэтому делим уравнение на соsx≠0,
получаем 3 tg x=-√3    или    tg x= -√3/3,    х=- π/6 +π· k, k∈Z

2)  Заменим  sin²x=1-cos²x
sin x · cos² x - 1/2 (1-cos² x)-1/4 sin x +3/8=0,
Сгруппируем первое и третье, второе и четвертое:
sin x (cos²x - 1/4) + 1/2 ( cos²x- 1/4)=0
(cos² x - 1/4)(sin x +1/2)=0
или
(cosx-1/2) ( сos x+1/2)(sin x + 1/2)=0
Произведение трех множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

$cosx= \frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi k, k\in Z; \\ cosx=- \frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n, n\in Z; \\ sinx=- \frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1) ^{m+1}\cdot \frac{ \pi }{6} + \pi m, m\in Z.$

ответ. $x=\pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi k, k\in Z; \\ x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n, n\in Z;\\ x=(-1) ^{m+1}\cdot \frac{ \pi }{6} + \pi m, m\in Z.$