Question

При каких значениях параметра "а",уравнение имеет одно решение? ax-1=sqrt(8x-x^2-15) заранее: 3

Answer 1

$ax-1= \sqrt{8x-x^2-15}$
ОДЗ
$8x-x^2-15 \geq 0$
Решаем уравнение
$\sqrt{8x^2-x^2-15} =ax-1$
Возведем оба части до квадрата
$\left \{ {{ax-1 \geq 0} \atop {8x-x^2-15=(ax-1)^2}} \right.$
$-x^2+8x-15-(ax-1)^2=0 \\ -a^2x^2+2ax-x^2+8x-16=0$
Пусть $ax = b \\ b-1 \geq 0\to b \geq 1$
$-b^2+2b-x^2+8x-16=0$
Производим групприровку
$(-b^2+2b-16)-x^2+8x=0$
Находим дискриминант
$D=-4b^2+8b$
$\left[\begin{array}{ccc} \left \{ {{-4b^2+8b=0} \atop {x=4}} \right. \\ \left \{ {{-4b^2+8b0} \atop {x= \frac{-8+ \sqrt{-4b^2+8b} }{-2} }} \right. \end{array}\right$
Решим уравнение
$-4b^2+8b=0 \\ 4b(-b+2)=0 \\ b_1=0;b_2=2$
Подставим
$\left \{ {{b=ax} \atop {b \geq 1}}\atop {b =2}},,x=4 \right.$
Корень 0 не подходит,
$\left \{ {{ax=2} \atop {x=4}} \right. \to \left \{ {{4a=2} \atop {x=4}} \right. \to \left \{ {{a= \frac{1}{2} } \atop {x=4}} \right.$

$a=( \frac{1}{2} )^2= \frac{1}{4}$

$D=64+32a+4a^2-4*16*(a+1)= \\ = 64+32a+4a-64a-64=32a-60a \\ D=0 \\ a(32-60a)=0 \\ a= \frac{8}{15}$

Подставим вместо а = 1/2, получаем
$\frac{1}{2} x-1= \sqrt{8x-x^2-15}$
Возведем оба части до квадрата
$( \frac{1}{2} x-1)^2=8x-x^2-15 \\ 5x^2-36x+64=0$
 Находим дискриминант
 $D=b^2-4ac=(-36)^2-4*5*64=16 \\ x_1= \frac{36-4}{2*5} =3.2;x_2= \frac{36+4}{2*5} =4$
Значит при а =1/2, х=3,2 и х =4
Теперь подставим 1/4
$\frac{1}{4} x-1= \sqrt{8x-x^2-15}$
$17x^2-136x+256=0 \\ D=b^2-4ac=(-136)^2-4*17*256=1088; \sqrt{D}= 8 \sqrt{17} \\ x= \frac{136^+_--8 \sqrt{17} }{2*17} = \frac{68^+_- 4\sqrt{17} }{17}$
Подходит только положительный корень
Теперь а=8/15
Получаем квадратное уравнение
$289x^2-2040x+3600=0 \\ (17x- 60)^2=0 \\ x= \frac{60}{17}$

одно решение имеет только при а = 8/15

ответ: $a= \frac{8}{15} ;x= \frac{60}{17}$