Question

Втрапеции диагонали взаимно перпендикулярны. 1)докажите что площадь прямоугольного треугольника образованного его основаниями (как катетами) меньше площади прямоугольного треугольника образованного боковыми сторонами. (как катетами) 2)найдите cреднюю линию этой трапеции если сумма квадратов ее диагоналей равна a

Answer 1

Если трапеция $ABCD$  $O$  , точка пересечения диагоналей
Положим что диагонали  $BD=x+w\\ AC=y+z$ 
Получим   
1)$S=\frac{\sqrt{ (x^2+y^2)(w^2+z^2)}}{2}\\ S_{2}=\frac{\sqrt{(x^2+z^2)(w^2+y^2)}}{2}\\\\ (x^2+y^2)(w^2+z^2) < (x^2+z^2)(w^2+y^2)\\ (w^2-x^2)(y^2-z^2)<0\\ x^2+y^2< w^2+z^2\\ w^2-x^2y^2-z^2\\$ 
$x0\\ x=\frac{wz}{y}0$ 
откуда получаем  что больше 
2) 
Проведем отрезок параллельный диагонали , получим прямоугольный треугольник  , у которого гипотенуза равна  
 $\sqrt{(z+y)^2+(w+x)^2}=\sqrt{a}\\$ 
$\frac{AD+BC}{2}=\frac{\sqrt{a}}{2}$           
 
 ответ $\frac{\sqrt{a}}{2}$