Question

Найдите наименьший корень уравнения принадлежащий отрезку u ≤ x ≤ 8. с объяснением, если можно.

Answer 1

Вообще, уравнение проще решить графическим но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.
Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.
Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций.
$sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4} = sin \frac{ \pi x}{4} +\sqrt{1-sin^{2}\frac{ \pi x}{4} } =$ /Замена $y=sin \frac{ \pi x}{4}$ /
=$y+ \sqrt{1-y^{2} } =U=\sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=$ /Замена $z=\sqrt{1-y^{2} }$/
=> $z=z^{2} +U-1=$
=>$z^{2}-z +U-1=0 = D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=$
В случае, если $D \geq 0,$ то уравнение имеет решение.
=> При $4U-3 \geq 0 = U \geq \frac{3}{4}$;
То есть при$U <\frac{3}{4}$, решений нет.
$z_{1,2} = \frac{-b +/- \sqrt{D} }{2a} =\frac{-1 +/- \sqrt{4U-3} }{2}$
Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число => $z = \frac{\sqrt{4U-3} -1}{2}=\sqrt{1-y^{2}}$

=> $\sqrt{4U-3} -1=2\sqrt{1-y^{2}}=(\sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})$
=> $4U-3-2\sqrt{4U-3} +1=4-4y^{2} = 4y^{2} = 6-4U +2 \sqrt{4U-3}$
=> $y = \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$
При этом должно выполняться неравенство $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}} \geq 0$, иначе корней нет. Пометим это выражение (1*)

$y=sin \frac{ \pi x}{4}=\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}[$
Решения есть, если $-1\leq \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2} \leq 1$

=> $\frac{ \pi x}{4}=(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k$, где k принадлежит Z
=> $x=\frac{4}{ \pi }( (-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k)$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+\frac{4}{ \pi } /pi k$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
Поскольку мы ищем наименьший корень, то  что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение
Выражение$\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$ должно быть наименьшим
=> Выражение$\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}$должно быть наименьшим
=> Выражение$6-4U +2 \sqrt{4U-3}$должно быть наименьшим
$6-4U +2 \sqrt{4U-3}=$/Замена k=4U-3/$=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $\geq 0$
=> Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0
=> $D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =k_{1,2} = \frac{-m+/-D/4}{a}= \frac{1+/-2}{1}$
$k_{1} =-1; k_{2} =3; = 4U_{1}-3=-1 = U_{1}=1/2$
=>$4U_{2}-3=3 = U_{2} = 3/2;$
Поскольку у нас ограничения для $U\geq\frac{3}{4}$, то минимальное значение будет достигаться при U=3/2;
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
$\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}=\sqrt{2\sqrt{3}} 0$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
$x \geq \frac{3}{2}$ - это следует из условий задачи
=> k=1 => $x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi}$ (11)
Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{6-4 +2 \sqrt{4-3}}}{2})$
=> $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{4}}{2})$
=> $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(1) = \frac{4 \pi}{ 2\pi }=2$

Теперь определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2:
$\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2=$
=$x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} -2$
/Для упрощения оценки допустим, что арксинус достигает своего максимального значения = $\frac{ \pi }{2}$, /
=$x=\frac{4 \pi}{ 2\pi }(-1) +4 \sqrt{/pi} -2=4 \sqrt{/pi}-40$
Следовательно x=2 - это минимальный корень из всех возможных.
ответ: x=2

Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем
Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4}[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачи