Question

Решите уравнение ! в) 5 sin^2 x + 5 sin x * cos x = 3 г) (1/cos x) + sin x = 7cos x

Answer 1

Однородное квадратное уравнение. Заменим  1=sin²x+cos²x
3·1=3(sin²x+cos²x)
$в) 5sin ^{2} x +5 sin x cos x=3(sin ^{2}x +cos ^{2}x) , \\ 2sin ^{2}x+5sinxcosx-3cos ^{2}x=0 , \\2 tg ^{2}x+ 5 tg x-3 =0,$
Замена переменной
tgx=t
2t² + 5t + 3 = 0,
D= 25 -4·2·3=1
t=(-5-1)/4=-3/2    или    t=(-5+1)/4=-1
tgx=-3/2   ⇒  x = arctg (-3/2) + π·k,  k∈Z
tgx =- 1    ⇒   x = -π/4  + π·n,   n∈Z

ответ. -π/4 + π·k,  arctg (-3/2)  + π·n,   k,n∈Z

г) перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1+sinx cosx - 7 cos ^{2x} }{cos x} =0$
$\frac{sin ^{2}x+cos x^{2} x+sinx cos x - 7 cos ^{2}x }{cos x} =0,$

$sin ^{2}x+sinx cosx-6cos ^{2}x= 0,$
cosx≠0
Однородное уравнение делим на cos²x≠0
tg²x+tgx-6=0
Замена переменной
tgx=t
t² + t - 6 = 0,
D= 1 -4·(-6)=1+24=25
t=(-1-5)/2=-3    или    t=(-1+5)/2=4
tgx=-3    ⇒  x = arctg (-3) + π·k,  k∈Z
tgx =2    ⇒   x = arctg 2  + π·n,   n∈Z
ответ. - arctg 3 + π·k,   arctg 2 + π·n,   k,n∈Z