Question

Количество целых значений параметра а, при которых абсцисса вершины параболы y = (x - 8a)^2 - a^2 + 7a -12 отрицательна, а ордината положительна равно.. с полным решением

Answer 1

$y = (x - 8a)^2 - a^2 + 7a -12\\\\ y = x^2 - 16ax + 64a^2 - a^2 + 7a - 12\\\\ y = x^2 - 16ax + 63a^2 + 7a - 12\\\\ a_fx^2 + b_fx + c_f = 0\\\\ a_f = 1, \ b_f = -16a, \ c_f = 63a^2 + 7a - 12$

Ордината вершины будет положительна, если парабола не имеет корней (это справедливо, т.к. ветви этой параболы всегда идут вверх). Абсцисса вершины будет отрицательна, если $-\frac{b_f}{2a_f} < 0$.

Наши условия:

$1) \ D = b_f^2 - 4a_fc_f < 0\\\\ 2) \ -\frac{b_f}{2a_f} < 0$

$1) \ (-16a)^2 - 4*(63a^2 + 7a - 12) = 256a^2 - 262a^2 - 28a + 48 = \\\\ = 4a^2 - 28a + 48 < 0$

Решаем методом интервалов:

$a^2 - 7a + 12 = a^2 - 4a - 3a + 12 =\\\\ = a(a - 4) - 3(a - 4) = (a - 3)(a - 4) = 0\\\\ a_1 = 3, \ a_2 = 4\\\\ ++++ [3] ---- [4] ++++ \\\\a \in (3;4)$

$2) \ -\frac{(-16a)}{2} < 0, \ 8a < 0, \ a < 0$

${\mathbb{OTBET:} \ \emptyset$
Целых решений нет. Вещественных тоже нет.