Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y'+y*tgx=1/cosx

Answer 1

ответ: y = sinx + Ccosx

Пошаговое объяснение:

Домножим левую и правую части уравнения на комплектующий множитель $\mu (x)$:

$\mu (x)=e^{\int{\rm tg}xdx}=e^{\int \frac{\sin x}{\cos x}dx}=e^{-\int \frac{d\cos x}{\cos x}}=e^{-\ln |\cos x|}=e^{\ln|\frac{1}{\cos x}|}=\dfrac{1}{\cos x}$

$\dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{\cos x}\cdot y{\rm tg}\, x=\dfrac{1}{\cos^2x}$

Заметим, что ${\rm tg}\, x\cdot \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)$

$\dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{dy}{dx}+y\cdot \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)=\dfrac{1}{\cos^2x}$

Воспользуемся тем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференциал произведения двух функций.

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos x}\cdot y\right)=\dfrac{1}{\cos ^2x}\\ \\ \displaystyle \int\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{\cos x}\right)dx=\int\dfrac{dx}{\cos ^2x}~~~\Longleftrightarrow~~~ \dfrac{y}{\cos x}={\rm tg}\, x+C\\ \\ \\ y=\cos x({\rm tg}\, x+C)=\sin x+C\cos x$