Question

Докажите , что для любого натурального числа n верно равенство: a) n! +(n+1)! =n! (n+2) б) (n+! =n! n в) (n-1)! +n! +(n+1)! =(n+1)^2(n-1)! г) (n+1)! -n! + (n-1)! =(n^2+1)(n-1)! д) (n+1)! /(n-1)! =n^2+n у) (n-1)! /n! -n! /(n+1)! = 1/n(n+1)!

Answer 1

А) n!+(n+1)!=n!(n+2)
     n!(1+n+1)=n!(n+2)
     n!(n+2)=n!(n+2)
               1=1
б) (n+1)!-n!=n!n
     n!(n+1-1)=n!n
     n!n=n!n
       1=1
в) (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)²(n-1)!
    (n-1)! (1+n+n(n+1))=(n+1)²(n-1)!
     (n-1)!(1+n+n²+n)=(n+1)²(n-1)!
     (n-1)! (1+2n+n²)=(n+1)²(n-1)!
(n+1)²(n-1)!=(n+1)²(n-1)!
1=1
г) (n+1)! -n!+ (n-1)!=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n*(n+1)-n+1)=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n²+n-n+1)=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n²+1)=(n²+1)(n-1)!
1=1
д) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n^2+n \\ \frac{(n-1)! \cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!}=n^2+n \\ n(n+1)=n^2+n \\ n^2+n=n^2+n \\ 0=0$

у) $\frac{(n-1)!}{n!}-\frac{n!}{(n+1)!}= \frac{1}{n(n+1)} \\ \frac{(n-1)!}{(n-1)!n}-\frac{n!}{n!(n+1)}= \frac{1}{n(n+1)} \\ \frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}= \frac{1}{n(n+1)} \\ \frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)} \\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)} \\ 1=1$