В точках экстремума функции двух переменных выполнено два условия:
1) dz/dx = 0; dz/dy = 0
2) A = d^2z/dx^2; B = d^2z/(dxdy); C = d^2z/dy^2; Delta = AC - B^2
Если Delta > 0 и A > 0 - это минимум.
Если Delta > 0 и A < 0 - это максимум.
Если Delta < 0 - это стационарная (критическая) точка, но не экстремум.
Решаем систему из 1 пункта.
{ dz/dx = e^(x-y)*(x^2 - 2y^2) + e^(x-y)*2x = 0
{ dz/dy = -e^(x-y)*(x^2 - 2y^2) + e^(x-y)*(-4y) = 0
Выносим общий множитель за скобки
{ e^(x-y)*(x^2 - 2y^2 + 2x) = 0
{ -e^(x-y)*(x^2 - 2y^2 + 4y) = 0
e в любой степени > 0, поэтому
{ x^2 - 2y^2 + 2x = 0
{ x^2 - 2y^2 + 4y = 0
Вычитаем из 1 уравнения 2 уравнение
2x - 4y = 0
x = 2y
Подставляем в любое уравнение
4y^2 - 2y^2 + 4y = 0
2y^2 + 4y = 0
y1 = 0; x1 = 2y = 0
y2 = -2; x2 = 2y = -4
Получили 2 точки: (0; 0) и (-4; -2).
Проверяем 2 условие.
A = d^2z/dx^2 = e^(x-y)*(x^2 - 2y^2 + 2x) + e^(x-y)*(2x + 2)
A(0; 0) = e^0*(0 - 0 + 0) + e^0*(0 + 2) = 0 + 1*2 = 2 > 0
A(-4; -2) = e^(-4+2)*(16-2*4-2*4) + e^(-4+2)*(-8+2) = 0 + e^(-2)*(-6) = - 6/e^2 < 0
B = d^2z/(dxdy) = -e^(x-y)*(x^2 - 2y^2 + 2x) + e^(x-y)*(-4y)
B(0; 0) = -e^0*(0 - 0 + 0) + e^0*0 = 0
B(-4; -2) = -e^(-2)*(16 - 2*4 - 2*4) + e^(-2)*(-4)(-2) = 8/e^2
C = d^2z/dy^2 = e^(x-y)*(x^2 - 2y^2 + 4y) - e^(x-y)*(-4y)
C(0; 0) = e^0*(0 - 0 + 0) - e^0*0 = 0
C(-4; -2) = e^(-2)*(16 - 2*4 - 4*2) - e^(-2)*(-4)(-2) = 0 - e^(-2)*8 = -8/e^2
Проверяем 2 условие для точки (0; 0).
Delta = AC - B^2 = 2*0 - 0^2 = 0
Здесь ничего сказать нельзя, но скорее всего, это не экстремум.
Проверяем 2 условие для точки (-4; -2).
Delta = AC - B^2 = -6/e^2*(-8/e^2) - 64/e^4 = 48/e^4 - 64/e^4 = -16/e^4 < 0
Так как Delta < 0, то точка (-4; -2) не экстремум.
Таким образом, у этой функции экстремумов нет.
Я бы ещё дополнительно проверил точку (0; 0), но не знаю, как это сделать.
Дано: уравнение основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2у+4=0, точка А(-2;3) лежит на второй его стороне. Найти её уравнение.
Находим координаты точки В на основании треугольника, приравнивая уравнения основания и боковой стороны.
х + у - 1 = х - 2у + 4,
3у = 5, у = 5/3.
х = 1 - у = 1 -(5/3) = -2/3.
Точка В((-2/3); (5/3)).
Находим координаты точки Н как середины отрезка АВ.
Н((-2+(-2/3))/2 = -8/6 = -4/3; (3+(5/3)/2 = 14/6 = 7/3) = ((-4/3); (7/3)).
Угловой коэффициент прямой СН как высоты равнобедренного треугольника равен: к(СН) = -1/к(АВ).
Выразим уравнение АВ относительно у: у = -х + 1. к(АВ) = -1.
Тогда к(СН) = -1/-1 = 1.
Уравнение СН имеет вид у = х + в.
Для определения величины "в" подставим координаты точки Н:
7/3 = 1*(-4/3) + в, в = (7/3) + (4/3) = 11/3.
Получаем уравнение СН: у = х + (11/3) или в общем виде 3х - 3у + 11 = 0.
Теперь можно получить координаты точки С как точку пересечения прямых ВС и СН, выраженных относительно у.
ВС: у =(1/2)х + 2, СН: у = х + (11/3).
(1/2)х + 2 = х + (11/3),
х - (1/2)х = 2 - (11/3),
(1/2)х = -5/3,
х = (-5/3)/(1/2) = -10/3, у = х + (11/3) = (-10/3) + (11/3) = 1/3.
Точка С((1/3); (-5/3)).
По координатам двух точек А и С определяем уравнение этой прямой.
АС: (х + 2)/((-10/3)+2) = у - 3)/((1/3)-3)
АС: (х + 2)/(-4/3) = (у - 3)/(-8/3), после сокращения на (-4/3) получаем каноническое уравнение:
АС: (х + 2)/1 = (у - 3)/2.
В общем виде 2х + 4 = у - 3 или 2х - у + 7 =0.
промышленный перевород, переход от традиционного к индустриальному обществу.