1. 2|x - 1| + x = 5
1) Найдем х (критическое значение х), при котором модуль = 0:
х - 1 = 0 → х = 1
2) При x > 1
2(x - 1)+ x = 5 → {2x-2+x = 5 → {3x= 7 → x = 7/3
3) При x < 1
2 [-(x - 1)] + x = 5 → -2x + 2 + x = 5 → - x = 3 → x = - 3
Проверка:
1) x = 7/3 = 2⅓
2|7/3 - 1| + 7/3 = 2*4/3 + 7/3 = 8/3 + 7/3 = 15/3 = 5
2) x = - 3
2|-3 - 1| -3 = 8 - 3 = 5
ответ: х₁ = 7/3 (или 2⅓), х₂ = - 3
2.
х² - 5х +4 < 0
х² - 4х - х + 4 < 0
x(x - 4) - (x + 4) < 0
(x - 1)(x + 4) < 0
x₁ = 1, x₂ = - 4
1) {x < 1
{x > -4
-4 < x < 1
2) {x > 1
{x < - 4
общего решения не имеет
ответ: -4 < x < 1
3.
|x| - 2х - 2 ≤ 0
Найдем х, при котором модуль = 0:
х =0
1) При х > 0
x - 2x - 2 ≤ 0 → - x ≤ 2 → x ≤ - 2
{x > 0
{x ≤ - 2 общего решения нет
2) При x < 0
-x - 2x - 2 ≤ 0 → -3x ≤ 2 → x ≥ - 2/3
ответ: x ≤ -2/3 или [-2/3; +∞)
4. (2x² + 1)/ (x - 1) < x
ОДЗ: х -1 ≠0 → х ≠ 1
[(2x² + 1 )/ ( x - 1)] - x < 0
[(2x² + 1 - x(x - 1)]/(x - 1)\ < 0
(x² + 1 + x)/ (x - 1) < 0
(x² +2*0,5*x + (0,5)² +0,75)/ (x - 1) < 0
[(x + 0,5)² +0,75] / (x - 1) < 0
Числитель (x + 0,5)² +0,75 > 0 всегда, т.к. квадрат числа > 0 и 0,75 >0.
Значит, дробь будет < 0, если знаменатель < 0^
x - 1 < 0
x < 1
ответ: (-∞; 1)
