Question

Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках m и n. найдите точку k пересечения прямых, касающихся параболы в точках m и n.

Answer 1

Есть парабола, заданная функцией $y= x^{2} -1$.  Просто построй по точкам. Они такие: $(0;-1), (1;0), (-1;0),(2;3), (-2;3),(3;8),(-3;8),(4;15),(-4;15)$
Есть точки $M(-2;3)$  и  $N(4;15)$, которые составляют прямую MN и пересекают параболу. При построении всё будет видно.
Теперь, собственно, чтобы найти точку пересечения касательных к параболе, нужно составить уравнения этих касательных, а потом их приравнять.

Уравнение касательной:  $y=f( x_{0} )+f'(x_{0})*(x-x_{0})$

Рассмотрим первую точку $M(-2;3)$:   Её $x=-2$
$f(x_{0})=(-2)^{2}-1=3$
$f'(x_{0})=( x^{2} )'-(1)'=( x^{2} )'=2x$
$f'(x)=2*(-2)=-4$
 Теперь составляем уравнение из полученного:
$y=3-4(x+2)=3-4x-8=-4x-5$
$y=-4x-5$

Рассмотрим вторую точку $N(4;15)$:    Её $x=4$
$f(x_{0})=15$
$f'(x_{0})=2x$
$f'(x)=2*4=8$
$y=15+8(x-4)=15+8x-32=8x-17$
$y=8x-17$

Теперь самое долгожданное: приравниваем полученные $y$  :
$-4x-5=8x-17$
$12x=12$
$x=1$
Подставляем полученный $x$  в любое из уравнений:
$y=-4*1-5=-9$

ответ: $K(1;-9)$