Обозначим: h - высота цилиндра, R - радиус его основания Объем бака:
Площадь полной поверхности бака:
В качестве независимой переменной выберем радиус основания R. Выразим h через R при заданном объеме V:
Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремум Подставляем h:
Вычисляем производную:
Находим стационарные точки:
Так как при переходе через это значение R производная меняет знак с минуса на плюс, то данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R).
Вычислим высоту найденного цилиндра:
Подставим значение объема из условия:
Таким образом, площадь поверхности цилиндра с объемом 6,28 м³ будет минимальной при высоте h = 2 м и радиусе основания R = 1 м. Осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.
А. 1) 2 * (8 + 2) = 20 (см) периметр прямоугольника 2) 20 : 4 = 5 (см) - сторона квадрата 3) 5 * 5 = 25 (кв.см) - площадь квадрата ответ: 25 кв.см - площадь квадрата.
б. 1) 2 * 8 = 16 (кв.см) - площадь прямоугольника 2) 16кв.см = 4см * 4см ответ: 4 см - сторона квадрата. ответ на комментарий: периметр - это сумма всех сторон. площадь - это произведение сторон. Например: сторона квадрата = 2см периметр квадрата = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 (см) площадь квадрата = 2 * 2 = 4(кв.см) Теперь возьмём прямоугольник: одна сторона прямоугольника ( длина) = 5см другая сторона прямоугольника (ширина) = 3см Периметр прямоугольника = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 (см) Площадь прямоугольника = 5 * 3 = 15(кв.см) Площадь и периметр одной фигуры никогда не сравниваются, потому что это разные единицы измерения.
![\displaystyle S'(R)=0 \\ \\ \frac{4 \pi R^{3}-2V}{R^{2}}=0 \\ \\ \\ \left \{ {{4 \pi R^{3}-2V=0} \atop {R^{2} \neq 0}} \right. \\ \\ \\ R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }= \sqrt[3]{ \frac{6,28}{2*3,14}}= \sqrt[3]{1}=1](/tpl/images/0907/2413/3b997.png)
![\displaystyle h= \frac{V}{ \pi R^{2}}= \frac{V}{ \pi ( \sqrt[3]{V/2 \pi })^{2}}= \frac{V \sqrt[3]{4 \pi ^{2}}}{ \pi \sqrt[3]{V^{2}}}= \frac{ \sqrt[3]{4V}}{ \sqrt[3]{ \pi }}= \sqrt[3]{ \frac{4V}{ \pi } }](/tpl/images/0907/2413/c4b50.png)
![\displaystyle h= \sqrt[3]{ \frac{4*6,28}{3,14}}= \sqrt[3]{8}=2](/tpl/images/0907/2413/cf729.png)
