"Если сумма квадратов x и y делится на 3, и x и y являются целыми числами, то и сами x и y делятся на 3."
Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся методом математической индукции.
Шаг 1: Проверим базовый случай. Пусть x = 0, y = 0. Тогда (x² + y²) = (0² + 0²) = 0, что делится на 3. Следовательно, базовый случай верен.
Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторых целых чисел x и y, и сумма их квадратов делится на 3. То есть, x и y также делятся на 3.
Шаг 3: Рассмотрим случай, когда мы имеем x и y такие, что (x² + y²) делится на 3. Докажем, что в этом случае и x и y также делятся на 3.
Для этого, давайте представим x в виде x = 3a + b, где a - некоторое целое число и 0 ≤ b < 3 (остаток от деления x на 3). Аналогично, пусть y = 3c + d, где c - некоторое целое число и 0 ≤ d < 3 (остаток от деления y на 3).
Мы видим, что сумма квадратов состоит из двух частей: первая часть, умноженная на 3, это множитель, который делится на 3, а вторая часть это остаток от деления на 3 суммы квадратов.
Дано, что (x² + y²) делится на 3, значит, и (b² + d²) также делится на 3. Мы знаем, что квадрат каждого числа дает остаток 0 или 1 при делении на 3. Таким образом, и b и d могут быть только 0 или 1 или 2, чтобы их квадраты делились на 3.
Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации для b и d:
1) Если b = 0, то x = 3a и x делится на 3.
2) Если b = 1, то x = 3a + 1, исходя из чего следует что x не делится на 3.
3) Если b = 2, то x = 3a + 2, и x также не делится на 3.
Аналогично, мы можем рассмотреть все возможные комбинации для d и увидеть, что в каждом случае y не делится на 3.
Таким образом, если предположить, что (x² + y²) делится на 3, то мы видим, что x и y должны также делиться на 3.
Таким образом, мы доказали, что если сумма (x² + y²) делится на 3 и x, y - целые числа, то x и y также делятся на 3.
