Question

Корень 3 степени из (-8),найти все значения этого корня.при условии,что это комплексное число

Answer 1

Пусть
$\sqrt[3]{-8}=a+bi\\$
Причём a и b - действительные числа.$\left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {3a^2bi-b^3i=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {bi(3a^2-b^2)=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {b(a\sqrt3-b)(a\sqrt3+b)=0}} \right. \\ b=0\Rightarrow a^3=-8\Rightarrow a = -2\\b=a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\b=-a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(-a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\ \sqrt[3]{-8}=-2\\\sqrt[3]{-8}=1+i\sqrt3\\\sqrt[3]{-8}=1-i\sqrt3$
Тогда возведём в куб:
$-8 = (a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i\\$
Сгруппируем действительные и мнимые части: