Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является .
1) — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Применим метод Эйлера: сделаем замену где
— некоторая постоянная. Тогда
Получили характеристическое уравнение:
Разделим обе части уравнения на :
Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:
Тогда
Воспользуемся формулой Эйлера:
Фундаментальная система решений: — функции линейно независимые, поскольку
Общее решение:
2) — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции
.
Здесь , причем
, поэтому частное решение имеет вид
, где
— неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Тогда и
подставим в исходное ЛНДР и найдем
:
Разделим обе части уравнения на
Таким образом, частное решение:
Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:
ответ:
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общим решением которого является .
1) — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Применим метод Эйлера: сделаем замену где
— некоторая постоянная. Тогда
Получили характеристическое уравнение:
Разделим обе части уравнения на :
Отрицательный дискриминант означает, что корни данного уравнения будут комплексно-сопряженными:
Тогда
Воспользуемся формулой Эйлера:
Фундаментальная система решений: — функции линейно независимые, поскольку
Общее решение:
2) — частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое находится с метода подбора вида частного решения по виду правой части функции
.
Здесь , причем
, поэтому частное решение имеет вид
, где
— неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Тогда и
подставим в исходное ЛНДР и найдем
:
Разделим обе части уравнения на
Таким образом, частное решение:
Тогда общим решением исходного ЛНДР с постоянными коэффициентами:
ответ:
Его сыновья стали, как бы продолжением традиций музыки. В Ваймере основной был дом отца и деда баха, но затем семья переехала в Вену и Бах, жил и в Вене -Бах-отец. Сыновья от 1 брака -Вильгем-1710-1784, от первого брака, от жены марии Барбары, затем сын Иоганн Христоф-1732-1795, другой сын Карл Филипп 1714-1788, и последний и очень талантливый сын Иоганн Кристианн Бах1735-1782