ПРИМЕР. По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X. Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y.y/x15202530354010022120431031402507101601431801Решение: Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод: 1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893) 2) все точки расположены близко к линиям регрессии.
ДУЛЕБЫ — племенной союз восточных славян. Обитали в бассейне Буга и правых притоков Припяти начиная с 6 в. ВОЛЫНЯНЕ, велыняне — восточнославянский союз племен, заселявший территорию по обоим берегам Западного Буга и у истока р. Припять. ВЯТИЧИ — восточнославянский союз племен, обитавших в бассейне верхнего и среднего течения Оки и по р. Москва. ДРЕВЛЯНЕ — восточнославянский племенной союз, занимавший в 6-10 вв. территорию Полесья, Правобережье Днепра, западнее полян, по течению рек Тетерев, Уж, Уборт, Ствига. ДРЕГОВИЧИ — племенной союз восточных славян. Точные границы обитания дреговичей до сих пор не установлены. По мнению ряда исследователей (В. В. Седов и др.) , в 6-9 вв. дреговичи занимали территорию в срединной части бассейна р. Припять, в 11 — 12 вв. южная граница их расселения проходила южнее Припяти, северо-западная — в водоразделе рек Друть и Березина, западная — в верховьях р. Неман. КРИВИЧИ — племенной союз восточных славян 6-11 вв. Проживали на территориях нынешних Витебской, Могилёвской, Псковской, Брянской и Смоленской областей, а также восточной Латвии. ПОЛОЧАНЕ — славянское племя, часть племенного союза кривичей; жили по берегам р. Двина и ее притока Полота, от которого и получили свое название. ПОЛЯНЕ — племенной союз восточных славян, обитавший на Днепре, в районе современного Киева. РАДИМИЧИ — восточнославянский союз племен, обитавший в восточной части Верхнего Поднепровья, по р. Сож и ее притокам в 8-9 вв. РУСЫ — в источниках 8-10 вв. название народа, участвовавшего в образовании Древнерусского государства. В исторической науке до сих пор продолжаются дискуссии об этническом происхождении русов. Согласно свидетельствам арабских географов в 9-10 вв. и византийского императора Константина Багрянородного (10 в.) , русы являлись социальной верхушкой Киевской Руси и главенствовали над славянами. СЕВЕРЯНЕ — восточнославянский союз племен, обитавших в 9-10 вв. по pp. Десна, Сейм, Сула. Западными соседями северян были поляне и дреговичи, северными — радимичи и вятичи. СЛОВЕНЕ ИЛЬМЕНСКИЕ — племенной союз восточных славян на территории Новгородской земли, в основном в землях около оз. Ильмень, по соседству с кривичами. ТИВЕРЦЫ — восточнославянское племя, расселившееся в IX веке в междуречье Днестра и Прута, а также Дуная, в том числе у Буджакского побережья Чёрного моря на территории современных Молдавии и Украины. УЛИЧИ — восточнославянский союз племен, существовавший в 9 - сер. 10 вв. По сообщению "Повести временных лет", уличи жили в нижних течениях Днепра, Буга и на берегу Черного моря. Центром племенного союза был г. Пересечен. и т.д.
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
где , - выборочные средние величин x и y, σx, σy - выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
= (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
= (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ2x = (152(1 + 1) + 202(2 + 4 + 1) + 252(4 + 50) + 302(3 + 7 + 3) + 352(2 + 10 + 10) + 402(2 + 3))/103 - 27.9612 = 30.31
σ2y = (1002(2 + 2) + 1202(4 + 3 + 10 + 3) + 1402(2 + 50 + 7 + 10) + 1602(1 + 4 + 3) + 1802(1 + 1))/103 - 136.8932 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и
Определим коэффициент корреляции:
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 - 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
и уравнение x(y):
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.
1