Даны четыре точки: A1(1; 3; 6), A2(2; 2; 1), A3(-1; 0; 1), A4(-4; 6; -3).
Составить уравнения:
а) Плоскости (A1 A2 A3 );
Находим векторы: А1А2 и А1А3.
А1А2 = (2-1; 2-3; 1-6) = (1; -1; -5).
А1А3 = (-1-1; 0-3; 1-6) = (-2; -3; -5).
Находим векторное произведение:
(x - 1) (y - 3) (z - 6)| (x - 1) (y - 3)
1 -1 -5| 1 -1
-2 -3 -5| -2 -3 = 5(x - 1) + 10(y - 3) - 3(z - 6) +
+ 5((y - 3) - 15(x - 1) - 2(z - 6) =
= 5x - 5 + 10y - 30 - 3z + 18 + 5y - 15 - 15x + 15 - 2z + 12 =
= -10x + 15y - 5z - 5 = 0 или, сократив на (-5): 2x - 3y +z + 1 = 0.
б) Прямой A1 A2. Вектор А1А2 = (1; -1; -5) (см, п. а). Точка A1(1; 3; 6).
Уравнение А1А2: (x - 1)/1 = (y - 3)/(-1) = (z - 6)/(-5).
в) Прямой A1 M4 , перпендикулярной к плоскости (A1 A2 A 3).
Нормальный вектор n плоскости А1А2А3 2x - 3y +z + 1 = 0 - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости.
n = (2; -3; 1), точка A1(1; 3; 6).
Уравнение А1М4: (x - 1)/2 = ( y - 3)/(-3) = (z - 6)/1.
г) Прямой A N3 , параллельной прямой A1 A2.
Неизвестны координаты точки А, решение невозможно.
Вычислить:
д) Объем пирамиды A1A2A3А4.
V = (1/6)*|(A1A2xA1A3)*(A1A4)|.
Векторное произведение А1А2хА1А3 = (-10; 15; -5) (см.п.а)
Находим вектор А1А4 = (-4-1; 6-3; -3-6) = (-5; 3; -9).
V = (1/6)*|(-10*(-5)+15*3+(-5)*(-9))| = 140/6 = (70/3) куб.ед.
е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань (A1 A2 A3 ).
H = 3V/S(A1A2A3).
Площадь грани А1A2A3 равна половине модуля векторного произведения А1А2 и А1А3
S(A1A2A3) = (1/2)√((-10)² + 15² + (-5)²) = (1/2)√(100+225+25) =
= (1/2)√350 = (5/2)√14 ≈ 9,354143.
Тогда H = 3*(70/3)/((5/2)√14) = 2√14 ≈ 7,483315.
Даны координаты вершин пирамиды:
A1(4; 7; 8), A2(-1; 3; 0) , A3(2; 4; 9) , A4(1; 8; 9).
Находим:
1. Длину ребра А1А2.
Вектор А1А2 = (-1-4; 3-7; 0-8) = (-5; -4; -8).
|A1A2| = √((-5²) + (-4)² + (-8)²) = √(25 + 16 + 64) = √ 105.
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2 = (-5; -4; -8), |A1A2| = √ 105 (см.п.1).
Находим вектор А1А4 = (1-4; 8-7; 9-8) = (-3; 1; 1) и его модуль:
|A1A4| = √(9 + 1 + 1) = √ 11.
cos (A1A2_A1A4) = (-5)*(-3)+(-4)*1+(-8)*1)/(√ 105*√ 11) = 3/√ 1155 ≈ 3/33,98529.
Угол равен 0,088273 радиан или 1,4824078 градуса.
3. Площадь грани А1А2А3.
Вектор А1А2 = (-5; -4; -8) (см.п.1).
Находим вектор А1А3 = A3(2,4,9) - A1(4,7,8) = (-2; -3; 1).
Площадь равна половине модуля векторного произведения А1А2 на А1А3.
i j k| i j
-5 -4 -8| -5 -4
-2 -3 1| -2 -3 = -4i + 16j + 15k + 5j - 24i - 8k =
= -28i + 21j + 7k = (-28; 21; 7).
S = (1/2)√((-28)² + 21² + 7²) = (1/2)√(784 + 441 + 49) = (1/2)√1274 =
= (1/2)*7√26 = (7/2)√26 ≈ 17,846568 кв.ед.
4. Объем пирамиды V = (1/6)*[A1A2xA1A3]*A1A4 =
= (1/6)* (-28; 21; 7)*(-3; 1; 1) = (1/6)*(84 +21 + 7) = 112/6 = 56/3 ≈ 18,6667 куб.ед.
5. Длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
H = 3V/S(A1A2A3) = 3*(56/3)/((7/2)√26) = 56√26/91 ≈ 3,137858.
6. Уравнение ребра А1А4.
Точка A1(4; 7; 8), вектор А1А4 = (-3; 1; 1), его модуль √(9+1+1) =√11.
Уравнение А1А4: (x - 4)/(-3) = (y - 7)/1 = (z - 8)/1.
7. Уравнение плоскости А1А2А3.
Используя найденное векторное произведение А1А2 на А1А3:
-28x + 21y + 7z - 91 = 0 или, сократив на (-7):
4x - 3y - z + 13 = 0.
8. Угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;
Вектор А1А4 = (-3; 1; 1), модуль √11.
Вектор плоскости (-28;21; 7), модуль √1274.
sin a = |-3*-28+1*21+1*7)/(√11*√1274) = 0,9460998.
Угол равен 1,240974 радиан или 71,10256 градуса.
