Спарта и Афины – два города-государства ставшие колыбелью западной цивилизации. У них было несколько общих черт, и на протяжении всей истории они воевали друг с другом за господство и власть.
Древняя Греция не была единой страной, вместо этого существовали независимые города-государства – “полисы”. У этих государств было собственное правительство и армия. Спарта и Афины были одними из самых могущественных полисов древней Греции. Также они были друг для друга крупнейшими соперниками. У обоих были проблемы с пропитанием населения, поскольку их земля была бесплодной. Таким образом, они завоевывали соседние государства, у которых было достаточно продовольствия, и взамен завоеванная земля получала защиту от вторгавшихся в дальнейшем армий противника.Несмотря на то, что Спарта и Афины были географически близки друг к другу, их идеологии, общество, формы управления и базовый образ жизни сильно различались. Афины были одними из ведущих городов древней Греции в первом тысячелетии, принося культурные и философские достижения, что закладывали основы новой западной цивилизации. С другой стороны, милитаристская Спарта, сформированная после миграции Дориана с севера, и известная своей военной силой, стала главным врагом Персидской империи и возможным завоевателем Афин. Если милитаристская и мачистская культура Спарты полностью зависела от войн, то Афины стали истоком для некоторых из самых выдающихся достижений философии, искусства и науки в истории человечества.
f`(1) = 21*1^2 - 4*1 = 21 - 4 = 17.
2. f`(x) = 6x^2 - 12x.
6x^2 - 12x = 0, 6x(x - 2) = 0, x = 0, x = 2 - критические точки. Первая точка не принадлежит отрезку [1; 4].
f(2) = 2*2^3 - 6*2^2 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1.
f(1) = 2*1^3 - 6*1^2 + 7 = 2 - 6 + 7 = 3.
f(4) = 2*4^3 - 6*4^2 + 7 = 128 - 96 + 7 = 39.
max f(x) = f(4) = 39, min f(x) = f(2) = -1.
3.
а) Область определения функции - вся числовая прямая.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
f(-x) = (-x)^3 +3*(-x)^2 + 2.
f(-x) =/ f(x), f(-x) =/ -f(x) , значит, данная функция не является чётной или нечётной. Функция непериодическая.
б) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
k = lim f(x) = lim x^3 + 3x^2 + 2 = +беск.
x->беск x x
Нет и наклонных асимптот.
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
lim x^3 + 3x^2 + 2 = + беск.
x-> +беск
Если идём вправо, то график уходит бесконечно вверх, если влево – бесконечно вниз.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции - любое действительное число.
в) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Пересечение графика с осью У:
x = 0 -> f(0) = 2.
Пересечение графика с осью X:
f(x) = 0 -> x^3 + 3x^2 + 2 = 0.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален.
г) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки: f`(x) = 3x^2 + 6x.
3x^2 + 6x = 0, 3x(x + 2) = 0, x = -2, x = 0.
+ - +
++
-2 0
Следовательно, функция возрастает на (-беск; -2)u(0; +беск) и убывает на (-2; 0).
f(-2) = -8 + 12 + 2 = 6 - максимум.
f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 - минимум.
д) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
f``(x) = 6x + 6 = 0. x = -1.
Определим знаки f``(x):
- +
+
-1
График функции является выпуклым на (-1; +беск) и вогнутым на (-беск; -1). Вычислим ординату точки перегиба: f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4.
е) Найдем дополнительные точки, которые точнее построить график