Используем метод математической индукции, докажем это утверждение.
a=5*7²ⁿ⁺²+2³ⁿ
1. Проверим при n=1 5*7²*¹⁺²+2³ⁿ=5*7⁴+(2)³*¹=12013; 12013/41=293-выполнено.
2. Предположим, что при n=k 5*7^ (2k+2)+2^(3k) кратно 41
3. Докажем, что при n=k+1 утверждение справедливо.
5*7^ (2(k+1)+2)+2^(3(k+1))=5*7^(2k+4)+2^(3к+3)=5*7^(2к)*49*7²+8^(к)*8=
(41+8)5*7^(2к)*7²+8^(к)*8=41*5*7^(2к)*7²+8*5*7^(2к)*7²+8^(к)*8=
41*5*7^(2к)*7²+(8*5*7^(2к)*7²+8^(к)*8)=41*5*7^(2к+2)+8*(5*7^(2к+2)+2^(3к))
кратно 41, т.к. подчеркнутое выражение содержит множитель 41, а выражение в скобках делится на 41 по предположению. Значит, утверждение доказано полностью.
Пошаговое объяснение:
Доказательство по принципу (методу) математической индукции
a=5*7²ⁿ⁺²+2³ⁿ=5*7²ⁿ7²+(2³)ⁿ=5*49*49ⁿ+8ⁿ
1) проверим кратность 41 для n=1
a(1)=(5*49*49+8)/41=293 ⇒ a кратно 41 для n=1
2) предположим что a кратно 41 для n=k
то есть a(k)=5*49*49^k+8^k кратно 41
3) проверим кратность 41 для n=k+1
a(k+1)=5*49*49^(k+1)+8^(k+1)=5*49*(49^k)*49+(8^k)*8=5*49*(49^k)*(41+8)+(8^k)*8=
=5*49*(49^k)*8+(8^k)*8+5*49*(49^k)*41 =8[5*49*(49^k)+(8^k)]*8+{5*49*(49^k)*41} =a(k)*8+{5*49*(49^k)*41}
a(k)*8 кратно 41 по предположению в п. 2)
{5*49*(49^k)*41} кратно 41 т.к. содержит делитель 41 ⇒
a(k+1) кратно 41
4) а кратно 41 при n=1 ; из предположения что а кратно 41 следует кратность а 41 при n=k+1 ⇒ по принципу математической индукции
а кратно 41 для любого натурального n