Далее в тексте будем подразумевать под биквадратным трёхчленом и его коэффициентами выражение где под подразумевается квадрат переменной т.е. а его корнями – квадраты искомых корней, если они различны, или его чётным корнем если корень биквадратного трёхчлена – единственный.
Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле тогда Потребуем, чтобы откуда следует, что
Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при а корень биквадратного трёхчлена станет чётным давая два искомых корня Это значение как раз уже и есть одно из искомых решений для параметра
Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней всегда будет два – левый и правый (меньший и больший), однако при некоторых обстоятельствах левый квадрат искомых корней будет отрицательным, а значит, не будет давать пару искомых корней. Среднеарифметическое квадратов искомых корней по теореме Виета, в применении к биквадратному уравнению, будет равно числу, противоположному половине среднего коэффициента, т.е. оно равно Отсюда следует, что правый квадрат искомых корней – всегда положителен, а значит, всегда даёт два корня при положительном дискриминанте.
Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки А значит, значение всего трёхчлена взятое от должно давать отрицательное значение, т.е. располагается в нижней межкорневой дуге параболы биквадратного трёхчлена.
По теореме Виета, x1+x2=-3(A+1)/3=-(A+1), x1*x2=A^2 / 3 Выразим сумму кубов через сумму и произведение корней: x1^3+x2^3 = (x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) = (x1+x2)(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = (x1+x2)((x1+x2)^2-3x1*x2) = -(A+1)((-(A+1))^2-3*(A^2 / 3)) = -(A+1)(A^2+2A+1-A^2) = -(A+1)(2A+1) = -2A^2-3A-1 Сумма кубов - функция от параметра A: f(A) = -2A^2-3A-1 Найдем точку максимума функции: f'(A) = -4A-3 При f'(A)=0: -4A-3 = 0 => A = -3/4. f'(A) > 0 при A < -3/4 f'(A) < 0 при A > -3/4 Это значит, что A=-3/4 - точка максимума функции, а значит, при A=-3/4 сумма кубов принимает наибольшее значение.