Из сел заречное и заозерное одновременно навстречу друг другу вышли два мальчика и встретись через 10 - id324995820210711 от valeriya210322 11.07.2021 03:23

Question

Математика: Из сел заречное и заозерное одновременно навстречу друг другу вышли два мальчика и встретись через 10 минут после начала движения . затем мальчики продолжили движение в тех же направлениях и один из них пришел в заозерное через 8 минут после встречи . через сколько минут после своего выхода из заозерного второй мальчик приедет в заречное ?

valeriya210322 · Accepted Answer

Лемма: существует такое y-значное число вида XX...X (т.е. состоит из целиком из цифр X) такое, что оно делится на число 1987

Доказательство: число указанного вида можно представить в виде

$x\times\frac{10^{n+1}-1}{9}$ ; Сперва очевидно, что $10^{n+1}-1$ делится на 9. Согласно малой теореме Ферма $10^{1987-1}-1\equiv0 \mod 1987$ , так как 1987 - число простое. Так как 9 и 1987 взаимно просты, то число XX...X делится на 1987 для n+1=1986, т.е. для n=1985. $\square$

Итак, взяв например n=1985 получим число 1...19...98...86...6, которое раскладывается как $1...1\times 10^{3n}+9...9\times10^{2n}+8...8\times10^{n}+6...6$ , где каждое из чисел вида X...X делится на 1987

MOGZ ответил