Question

Решите дифференциальное уравнение

Answer 1

Решим сначала однотипное однородное ДУ

y''+2y'+y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k²+2k+1=0

$k _{1,2} = - 1$

Общее решение ОДУ:

$y_0=(C_1+C_2x)e^{-x}$

Заметим, что "кратный корень" правой части исходного уравнения: k=0, так как справа стоит -2х (то есть многочлен)

Но при решении характеристического уравнения получились другие корни (k=-1), поэтому на частное решение это никак не повлияет.

Частное решение ДУ— это общий вид правой части:

$\widetilde{y} = Ax+B$

Найдем 1 и 2-ю производные

$\widetilde{y}' = A \\ \widetilde{y}''= 0$

Подставляем частное решение в исходное ДУ:

$\widetilde{y}'' + 2 \widetilde{y}' + \widetilde{y} = - 2x \\ \\ 0 + 2A + Ax+B = - 2x$

Теперь приравниваем слагаемые:

Слева перед икс стоит А, справа перед икс стоит -2, значит

А=-2

Слева свободные члены: 2А+В, справа нет свободных членов, значит 0

2A+B=0

2*(-2)+B=0

-4+B=0

B=4

Тогда

$\widetilde{y} = Ax+B = - 2x + 4$

Решие данного ДУ:

$y = y _{0} + \widetilde{y} = (C_1+C_2x)e^{-x} - 2x + 4 \\ \\ OTBET: \ y = (C_1+C_2x)e^{-x} - 2x + 4$