Question

Составить уравнение места точек, отношение расстояний до данной точки а(1; 4) и прямой х=1/2 равна числу е=0,8. полученное уравнение к простейшему виду и построить кривую,отметить на рисунке фокальные точки и директрисы

Answer 1

$A(1;4); x=1/2; \varepsilon = 0,8$
Пусть точка M(x,y) - любая произвольная точка искомой кривой. тогда расстояние от точки A(1,4) до любой точки искомой кривой можно найти по формуле:

$\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}=0,8*| \frac{x-1/2}{ \sqrt{1^2+0^2} } | \\ \sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2}=0,8*|x-1/2| \\ (x-1)^2+(y-4)^2=0,64(x-0,5)^2 \\ (x-1)^2-0,8^2(x-0,5)^2+(y-4)^2=0 \\ (x-1-0,8(x-0,5))(x-1+0,8(x-0,5))+(y-4)^2=0 \\ (0,2x-0,6)(1,8x-1,4)+(y-4)^2=0 \\ 0,2(x-3)0,2(9x-7)+(y-4)^2=0 \\ 0,04(9 x^{2} -34x+21)+(y-4)^2=0 \\ 0,04(9(x-17/9)^2-100/9)+(y-4)^2=0 \\ 0,36(x-17/9)^2-4/9+(y-4)^2=0 \\ (x-17/9)^2+ \frac{(y-4)^2}{0,36}= \frac{100}{81} \\ \frac{(x-17/9)^2}{1^2} + \frac{(y-4)^2}{0,6^2}= (\frac{10}{9})^2$

Это уравнение эллипса, О(17/9;4), а=1, b=0,6

Эксцентриситет $\varepsilon = \sqrt{1- \frac{b^2}{a^2} }= \sqrt{1-0,36/1}= \sqrt{0,64} =0,8$
Фокальный параметр $p=b^2/a=0,36/1=0,36$
Директрисса $x=\pm \frac{p}{\varepsilon (1+\varepsilon)}=\pm \frac{0,36}{0,8(1+0,8)}=\pm 0,36/2,24=\pm 9/56 \approx\pm0,16$