Question

Сумма скольки последовательных натуральных чисел может быть простым числом?

Answer 1

Заметим, что последовательные натуральные числа - арифметическая прогрессия (к слову, со разностью d = 1), и их сумму можно искать по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}2$

Приглядимся внимательно к формуле и внезапно поймём, что:
1. Если n = 2k, т.е. n - четное число, то сумма делится на k = n/2.
(В самом деле,
$S_{2k}=(a_1+a_{2k})\cdot\dfrac{2k}{2}=(a_1+a_{2k})k$)
Поэтому если k не равно 1, то сумма делится на 2 числа, больших единицы: на $(a_1+a_{2k})$ и на k, и поэтому никак не может быть простым числом.
2. Если n = 2k + 1, т.е. n - нечетное число, то сумма делится на n:
(Опять воспользуемся формулой, только теперь запишем её в другом виде, заодно учтя, что d = 1:
$S_{2k+1}=\dfrac{(2a_1+1\cdot2k)(2k+1)}{2}=(a_1+k)(2k+1)$)
Поэтому при всех натуральных k найдутся два числа, больших единицы, на которые делится сумма - и сумма не проста.

Остается только один кандидат (кроме тривиального случая n = 1), это n = 2, т.е. надо брать сумму всего лишь двух последовательных чисел. Если удастся придумать пример, когда сумма двух последовательных натуральных чисел - простое число, то можно праздновать победу. А пример найти просто, например, 1 + 2 = 3 - простое число.

ответ. двух.