Question

Решить систему дифференциальных уравнений: y'(t) = y(t) + z(t) z'(t) = t + y(t) + z(t)

Answer 1

$y(t)=z'(t)-t-z(t)$

Продифференцируем второе уравнение по переменной t, получим

$z''(t)=1+y'(t)+z'(t)~~~\Rightarrow~~~ y'(t)=z''(t)-z'(t)-1$

Подставляем в первое уравнение:

$z''(t)-z'(t)-1=z'(t)-z(t)-t+z(t)\\ \\ z''-2z'=1-t$

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

$z''-2z'=0$

Пусть $z=e^{kt}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2-2k=0\\ k(k-2)=0~~~\Longleftrightarrow~~~ k_1=0;~~~ k_2=2$

Общее решение однородного дифференциального уравнения

$z^*=C_1e^{2t}+C_2$

Рассмотрим полином правой части $f(t)=(1-t)e^{0t}$ здесь $P_n(t)=1-t,~~ \alpha =0,~~ n=1$. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая, во внимая что n = 0, частное решение будем искать в виде:

$z^{**}=t(At+B)=At^2+Bt$

$z'=2At+B\\ z''=2A$

Подставляем в исходное диф. уравнение:

$2A-2(2At+B)=1-t\\ \\ 2A-2B-4At=1-t$

Приравниваем коэффициенты при степени t

$\displaystyle \left \{ {{2A-2B=1} \atop {-4A=-1}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{B=-\frac{1}{4}} \atop {A=\frac{1}{4}}} \right.$

Частное решение: $z^{**}=\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$z=z^*+z^{**}=C_1e^{2t}+C_2+\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}$

$y=2C_1e^{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{4}-t-C_1e^{2t}-C_2-\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{t}{4}=C_1e^{2t}-C_2-\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{4}$