Question

Найдите область определения функций y=lg2x+1/x-1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Так как в записи условия не поставлены скобки, то решаем задачу для следующих вариантов функций:

$\tt \displaystyle 1) \; y=lg(2 \cdot x)+\frac{1}{x-1}; \\\\2) \; y=\frac{lg(2 \cdot x)+1}{x-1} ;\\\\3) \; y=\frac{lg(2 \cdot x+1)}{x-1}; \\\\4) \; y=lg\frac{2 \cdot x+1}{x-1} .$

Область определения функции, то есть D(y):

$\tt \displaystyle 1) \; y=lg(2 \cdot x)+\frac{1}{x-1}: \\\\ \left \{ {{2 \cdot x0} \atop {x-1\neq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x0} \atop {x\neq 1}} \right. \Leftrightarrow$ D(y)∈(0; 1)∪(1; +∞);

$\tt \displaystyle 2) \; y=\frac{lg(2 \cdot x)+1}{x-1} :\\\\ \left \{ {{2 \cdot x0} \atop {x-1\neq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x0} \atop {x\neq 1}} \right. \Leftrightarrow$ D(y)∈(0; 1)∪(1; +∞);

$\tt \displaystyle 3) \; y=\frac{lg(2 \cdot x+1)}{x-1}: \\\\ \left \{ {{2 \cdot x+10} \atop {x-1\neq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x-\dfrac{1}{2} } \atop {x\neq 1}} \right. \Leftrightarrow$ D(y)∈(-1/2; 1)∪(1; +∞);

$\tt \displaystyle 4) \; y=lg\frac{2 \cdot x+1}{x-1}:\\\\\left \{\begin{array}{ccc} \ x-1\neq 0\\\dfrac{2 \cdot x+1}{x-1}0\\\dfrac{2 \cdot x+1}{x-1}\neq 1\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc} \ x\neq 1\\ (2 \cdot x+1) \cdot (x-1)0\\ 2 \cdot x+1\neq x-1\end{array}\right \Leftrightarrow$

$\tt \displaystyle \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc} \ x\neq 1\\ (x+\dfrac{1}{2} ) \cdot (x-1)0\\ x\neq -2\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc} \ x\neq 1\\ x \in (-oo; -\dfrac{1}{2} )U(1; +oo)\\ x\neq -2\end{array}\right \Leftrightarrow$

⇔ x∈(-∞; -2)∪(-2; -0,5)∪(-0,5; +∞).