Question

Исследовать функцию и построить ее график. y=5x/(4-x^2 )

Answer 1

У=(5х)/(4-х²)
1. Д(у)=(-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞), вертикальные асимптоты: х=-2, х=2 
2. исследовать на чётность: у(-х)=(5*(-х))/(4-(-х)²)=(-5х)/(4-х²)=-(5х)/(4-х²)
у(-х)=-у(х). функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)
3. у'=((5x)/(4-x²))'=((5x)' *(4-x²)-(4-x²)' * 5x)/(4-x²)²=(20+5x²)/(4-x²)²
4. y'=0, (20+5x²)/(4-x²)²'=0,  уравнение не имеет решения, т.е. нет критических(стационарных точек)
5.определим знаки производной на промежутках, на которые Д(у) разделила ось ОХ:
(-∞;-2)   + (функция возрастает)
(-2;2)    +  (функция возрастает)
(2;+∞)    + (функция возрастает)\
6. y''= (5*(-х))/(4-(-х)²)''=[(20+5x²)/(4-x²)²]'=(-10x⁵-80x³+480x)/(4-x²)⁴
y''=0, (-10x⁵-80x³+480x)/(4-x²)⁴=0, -10x⁵-80x³+480x=0, -10x(x⁴+8x²-48)=0, x₁=0, х₂=-2, х₃=2
точка (0;0)  - точка перегиба
7. график 

Answer 2

Результаты исследования графика функции y=5x / (4-x^2)

Область определения функции. ОДЗ: Точки, в которых функция точно неопределена:x=2.00, x=-2.00

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 5*x/(4-x^2). 
Результат: y=0. Точка: (0, 0)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:5*x/(4-x^2) = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=0. Точка: (0, 0).
Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=10*x^2/(-x^2 + 4)^2 + 5/(-x^2 + 4)=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:Нет решения.
Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=40*x^3/(-x^2 + 4)^3 + 30*x/(-x^2 + 4)^2=0lim y'' при x->+2.00
(если эти пределы не равны, то точка x=2.000 - точка перегиба)

lim y'' при x->+-2.00
(если эти пределы не равны, то точка x=-2.000 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, 0)x=2.00. Точка: (2.00, ±oo)x=-2.00. Точка: (-2.00, ±oo.
Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [0, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 0] 
Вертикальные асимптоты Есть: x=2.00 , x=-2.00.
Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 5*x/(4-x^2), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0 lim 5*x/(4-x^2), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0
Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim 5*x/(4-x^2)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слева lim 5*x/(4-x^2)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа.
Четность и нечетность функции:Проверим функцию четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:5*x/(4-x^2) = -5*x/(-x^2 + 4) - Нет
5*x/(4-x^2) = -(-5*x/(-x^2 + 4)) - 
Да, значит, функция является нечётной