Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= ; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v) ×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.
ответ:1. Дан куб. Определи, какая из данных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?
а) Плоскости (BCC1) перпендикулярна прямая
AA1
AC1
B1C1
AC
AB
BD1
BD
б) Плоскости (ACC1) перпендикулярна прямая
AA1
B1C1
AC1
BD
BD1
AB
AC
2. В каком ответе проведённая прямая, которая не лежит в плоскости названной фигуры, перпендикулярна плоскости этой фигуры?
Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам квадрата
Прямая проведена перпендикулярно основанию равнобедренного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно боковым сторонам трапеции
Прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности
Дополнен 5 месяцев назад
Рисунок внизу!
первое не надо, только 2.
Годичные слои яблони слегка извилистые и неодинаковые по ширине. Каждый годичный слой то сужается, то расширяется, образуя кольцо неправильной формы. Годичные слои благодаря узкой светлой полоске, разграничивающей их, хорошо видны на всех разрезах, но особенно четкий текстурный рисунок на торцовом срезе.
У яблони очень узкие сердцевинные лучи и простым глазом неразличимы.
Древесина яблони твердая, тяжелая и сильно усыхающая. Хотя высушить яблоневую древесину не так-то просто, но если уж удалось высушить, можно быть уверенным, что она не подведет. Изделия из хорошо высушенной древесины никогда не трескаются и не коробятся.
Древесина лесной яблони намного лучше домашней по двум причинам. Во-первых, древесина лесной яблони гораздо прочнее и меньше подвержена поражению гнилью, во-вторых, ствол
у нее почти прямой, а это дает возможность делать крупные заготовки в виде кряжей, досок и брусков. Ведь при благоприятных условиях дикая лесная яблоня может прожить до 200 лет, образуя ствол диаметром до 40 см.
У домашней яблони ствол кривой, с толстыми корявыми сучьями и раскидистой кроной. Растет она свободно, ей не нужно, подобно своей лесной родственнице, тянуться в чащобе к солнцу, стараясь перерасти другие деревья. Древесина домашней яблони нередко загнивает внутри ствола, а затем становится трухлявой. Постепенно на месте ядра образуется дупло. Старые яблони обычно выкорчевывали, чтобы на их место посадить молодые сильные деревца. Но ветки, ствол и корень старой яблони не выбрасывали.
Ветки и корни шли на дрова, которые давали много тепла и горели без копоти. В Вяземском районе Смоленской области крестьяне и сейчас при копчении окорока предпочитают сжигать яблоневые сучья. Древесина яблони не имеет смолы, а поэтому не коптит и не образует густой сажи, которая может испортить все дело. На легком светлом дыму окорок становится золотистым, а чтобы он был духовитым, в конце копчения бросают в огонь можжевеловую ветку.
Древесина ствола тоже шла в дело. Ее ценили за высокую прочность и малую стираемость. Известно, что зубья деревянных грабель быстро истачиваются и ломаются, цепляясь за но луговой дерн и кочки. Но срок службы зубьев можно продлить, если вырезать их из яблоневой древесины. Те же, кому часто приходится заниматься столярным делом, тоже предпочитают вырезать колодку рубанка из яблоневой древесины. Такая колодка, с глянцевитой гладкой подошвой, тяжела, прочна и может служить мастеру не один десяток лет.
Даже стволы с дуплами в иных умелых руках не пропадали даром. По сути дела, полый ствол — это деревянная труба, созданная самой природой. Распилив такую трубу на короткие цилиндрики, получали отличные заготовки для мелкой посуды. Оставалось сделать самую малость: вставить в прорезанные уторы донышко, а сверху приладить крышку.
Здоровая яблоневая древесина хороша для резных и токарных работ. Еще мастера древнего Новгорода точили и резали из нее очень прочную и красивую посуду. Режущие инструменты оставляют на древесине гладкий глянцевитый срез. На древесине можно выполнять очень тонкую резьбу, нанося очень четкие мельчайшие порезки. Это качество особенно ценно при работе над миниатюрной скульптурой.
Древесина яблони прекрасно шлифуется, полируется и поддается лощению. Пропитанная льняным маслом или натуральной олифой, она приобретает более высокую прочность и глубокий темно-коричневый цвет. Особенно прочны и тверды как кость небольшие изделия из яблоневой древесины, вываренные в масле или олифе.
Оригинальную текстуру имеет древесина яблонь, росших винтообразно, как бы ввинчиваясь своей кроной в воздух. Их свилеватая древесина очень прочна и красива. Но обрабатывать ее нужно очень осторожно. Срезая или скалывая древесину, необходимо постоянно следить за направлением волокон, чтобы не возникли случайные сколы и выбоины. Свилеватая древесина хорошо поддается распиливанию, поэтому из нее любители выпиливают дощечки, идущие на изготовление всевозможных декоративных коробочек и шкатулок. После шлифования и лощения на стенках изделий проявляется красивый волнистый рисунок. Подобный рисунок имеет древесина комлевой части ствола и корня.