Question

Найдите наименьшее значение функции y = + на промежутке [1; 3].

Answer 1

$y=\frac{x}{4}+\frac{4}{x}\\ y'=\frac{1}{4}-\frac{4}{x^2}\\ y'=0\ =\ \frac{1}{4}-\frac{4}{x^2}=0\\ \frac{4}{x^2}=\frac{1}{4}\\ x^2=16\\ x=+-4\\$
Так как 4 и -4 не лежат на промежутке [1;3], то наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка:
$f(1)=\frac{1}{4}+4=4.25\\ f(3)=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}=\frac{9+16}{12}=\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}$
ответ: $2\frac{1}{12}$

Answer 2

$\frac{x}{4}+ \frac{4}{x}= \frac{x^{2}+16}{4x} \\ f^{'}(x)= \frac{2x*4x-(x^{2}+16)*4}{16x^{2}}= \frac{4x^{2}-16}{16x^{2}} \\ 4x^{2}-16=0 \\ x=+-2$
-2∉[1;3]
2∈[1;3]
$y(1)= \frac{1}{4}+ \frac{4}{1}=4 \frac{1}{4}=4,25 \\ y(2)= \frac{2}{4} + \frac{4}{2}= \frac{1}{2}+ \frac{2}{1}=2,5 \\ y(3)= \frac{3}{4}+ \frac{4}{3}= \frac{25}{12} =2 \frac{1}{12}$
ответ: Наименьшее значение функции в точке 3, равно 2 целых 1/12