Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H; Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1; Теорема Ван-Обеля дает AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1; BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2; (AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1; А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B; Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать. Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c; тогда вся эта абракадабра переписывается так a + 1/c = 1; 1/a + b = 2; abc = 1; и надо найти c + 1/b; теперь видно, что эту систему очень легко решить. из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3; c + 1/b = 5 = CH/HC1;
Да, можно. Даже при условии, что никаких сосудов больше нет. В первом столбце количество воды в сосуде 9 литров, во втором количество воды в сосуде 11 литров 0 0 начало 9 0 налили из-под крана в первый 0 9 перелили из первого во второй 9 9 налили из-под крана в первый 7 11 перелили из первого во второй 7 0 вылили из второго в раковину 0 7 перелили из первого во второй 9 7 налили из-под крана в первый 5 11 перелили из первого во второй 5 0 вылили из второго в раковину 0 5 перелили из первого во второй 9 5 налили из-под крана в первый 3 11 перелили из первого во второй 3 0 вылили из второго в раковину 0 3 перелили из первого во второй 9 3 налили из-под крана в первый 1 11 перелили из первого во второй 1 0 вылили из второго в раковину 0 1 перелили из первого во второй 9 1 налили из-под крана в первый 0 10 перелили из первого во второй В 11-литровом сосуде 10 литров воды
Пусть стороны прямоугольника равны x и y, тогда
2x+2y=14 => x+y=7
x^2+y^2=5^2
x=7-y
(7-y)^2 +y^2 =25
49-14y+y^2+y^2=25
2y^2-14y+ 24=0
y^2-7y+12=0
D=b^2-4ac=49-48=1
y1= 4
y2=3
x=7-y => x1=3; x2=4
тогда стороны равны 3; 4; 3; 4