Question

Завтра экзамен! решите с решением! 1) представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной: 1) 0,(35); 2) 3,11(5).

Answer 1

1) $0{,}(35)=\dfrac{35}{10^2}+\dfrac{35}{10^4}+\dfrac{35}{10^6}+\dots$

Правая часть равенства представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где первый её член равен $b_{1}=\dfrac{35}{10^2}$, а знаменатель $q=\dfrac{1}{10^2}$

Формула суммы бесконечно убывающей геом. прогрессии $S=\dfrac{b_1}{1-q}$

$S=\dfrac{35}{10^2\left(1-\dfrac{1}{10^2}}\right)}=\dfrac{35}{10^2-1}=\dfrac{35}{99}$

Значит, $0{,}(35)=\dfrac{35}{99}$

2) $3{,}11(5)=3{,}11+0{,}00(5)=\dfrac{311}{100}+\dfrac{5}{10^3}+\dfrac{5}{10^4}+\dots$

Аналогично примеру в пункте (1), для периодической дроби в правой части уравнения $b_1=\dfrac{5}{10^3}$ и $q=\dfrac{1}{10}$

$S=\dfrac{5}{10^3\left(1-\dfrac{1}{10}\right)}=\dfrac{5}{10^3-10^2}=\dfrac{5}{900}=\dfrac{1}{180}$

Значит, $3{,}11(5)=\dfrac{311}{100}+\dfrac{1}{180}=\dfrac{311\cdot 18+10}{1800}=\dfrac{5608}{1800}=\dfrac{701}{225}$