Question

Найдите натуральное наименьшее число n, превосходящее 35 и такое , что n^(2n+1)+1 кратно 3

Answer 1

Так как степень нечетная $2n+1$ , то при $n$  равному нечетном  числу все выражение $n^{2n+1}+1$ будет  четна , но    четное число не делится    на $3$ , откуда $n$  четное 
всего вариантов  $2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26;28;30;32;34$ 
при $n=2$ 
 $2^{5}+1=33$ и оно делится на $3$ и оно очевидно наименьшее 
 
 Попробуем доказать другое 
 $n=4\\ 2^{18}+1$   число $2^{18}\equiv1 \ (mod 3)$  это следует из функций Эйлера , то есть весь остаток равен $1+1=2$  
 итд то есть нет такого числа