Признак делимости на 3: остаток от деления любого натурального числа на 3 равен остатку от деления на 3 суммы его цифр.
Если число имеет остаток 1 от деления на 3, то сумма цифр тоже имеет остааток 1 и сложение числа с суммой цифр дает остаток от деления на 3: 1+1=2. Если число имеет остаток 2 от деления на 3, то сумма цифр тоже имеет остаток 2 и сложение числа с суммой цифр дает остаток 1, т.к. (2+2)/3 имеет остаток 1. Таким образом, мы вернулись к предыдущему пункту и так будем ходить по кругу вечно. 41 нацело не делится на 3. Следовательно, мы никогда не не получим число, которое будет делиться без остатка на 3.
Нет. Полезное утверждение: сумма цифр даёт такой же остаток при делении на 9, что и само число.Доказательство. Пусть число имеет вид . Рассмотрим разность между этим числом и суммой его цифр: Коэффициент перед равен - k девяток, очевидно делится на 9. Если разность двух целых чисел делится на 9, то они дают одинаковые остатки при делении на 9, что и требовалось доказать.
Возвращаемся к задаче. Первоначальное число давало остаток 6 при делении на 9. Тогда после первого нажатия волшебной кнопки на экране будет число, дающее такой же остаток от деления на 9, что и 2 * 6, после следующего - как и 4 * 6, и вообще, после n нажатий число будет давать такой же остаток, что и . не делится на 9 ни при каком n, так что на экране не появится ни одного числа, делящегося на 9, в том числе и 9333 = 9 * 1037.
