а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
Если из точки В опустить перпендикуляр ВЕ на плоскость ACD, то основание ВЕ по свойству правильной треугольной пирамиды будет находиться в точке пересечения медиан плоскости ACD.
То есть точка Е лежит на медиане АР.
Перпендикуляр МК из точки М лежит в плоскости АВЕ, которая перпендикулярна плоскости ACD.
По свойству подобия треугольников АВЕ и АМК основание (точка К) перпендикуляра из точки В будет лежать на медиане АР.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Примем длину ребра тетраэдра, равной 1.
DM - это апофема боковой грани правильного тетраэдра.
По свойству правильного треугольника DM = √3/2.
Длина перпендикуляра МК равна половине высоты правильного тетраэдра, равной √(2/3), то есть МК = √(2/3)/2 = √(2/12) = √6/6.
Отсюда находим искомый угол:
sin φ = МК/МD = (√6/6)/(√3/2) = √2/3.
φ = arc sin(√2/3) = 0,4909 радиан = 28,1255 градуса.
Такой же ответ получаем при векторном расчёте .
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n
Скалярное произведение 0,353553391
s = {l; m; n} -0,144337567 0,25 0,816496581
Модуль = √0,75 = 0,866025404.
Вектор нормали плоскости имеет вид:
A B C sin fi = 0,471404521
Ax + By + Cz + D = 0 0,40824829 0,707106781 0,288675135 Модуль 0,866025404
fi = 0,490882678 радиан
= 28,1255057 градус .
