Заметим, что 
Докажем, что, начиная с 
, последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим 
пару чисел 
.
Каждое из чисел каждой из пар дает один из 
остатков по модулю . Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть 
(1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары 
. Покажем, что 
.
Пусть не так, и 
.
По построению, 
Но, по определению последовательности Фибоначчи, 
. А значит 
. А тогда соответствующие элементы пар чисел 
сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что - пары с наименьшими номерами.
Значит .
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю 
периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается 
и называется период Пизано.
