Question

Прямоугольный лист бумаги длиной а см и шириной b см сложили по диагонали части, выходящие за границы двух слоёв бумаги, отрезали и развернули лист. всегда ли площадь полученного листа будет больше половины площади исходного листа?

Answer 1

Я сделал так: 1) Начерим произвольный прямоугольник со сторонами а и b по условию задачи. Симметрично через диагональ отразим половину, например, верхнего треугольника, образованного диагональю. 2) Пусть О- точка пересечения верхней длины "а" с нижней длиной. Легко доказать, что по условию отрезаемые треугольники равны(по одинаковой стороне -она равна "b", и двуг прилегающим к ней углам - один равен 90 градусов, другой есть разница между 180-90-(одинаковые вертикальные углы при вершине в точке О). 3) По Пифагору получаем длину гипотенузы этих треугольников (при этом, пусть расстояние от точки О до правого угла исходного прямоугольника равна l): √(b²+l²). Мы видим, что √(b²+l²)=а-l, значит l=(a²-b²)/(2a); 4) Sотрезанного=bl, значит, Sоставш=аb-bl=b(a-l); 5) Вопрос сводится к сравнению ab-bl и 0,5ab, то есть к сравнению 0,5а и l. То есть, нас спрашивают, всегда ли 0,5а>l. Рассмотрим эту задачу: 6.1) Пусть это не так, тогда 0,5а0, чего быть не может (мы в множестве положительных чисел), следовательно, наше предположение не верно и всегда 0,5а>l, то есть, ответ: нет, не может. Последние пункты можно и проще, но уже лень переписывать). Удачи!