Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: Требуется доказать, что
Предположим противное, то есть что
По условию
При этом
Идем по цепочке дальше. По условию
, при этом
. Продолжая этот процесс, получаем
Суммируя, получаем
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
чай 2 800 шт. 56 руб. 156 800 руб.
кофе 1 256 шт. 32 руб. 40 192 руб.
печенье 865 шт. 15 руб. 12 975 руб.
конфеты 908 шт. 45 руб. 40 860 руб.