Пусть y'=z, тогда y"=z' и уравнение перепишется в виде z'-z-2*cos(2*x)=0. Это линейное уравнение 1-го порядка, поэтому положим z=u*v. Тогда z'=u'*v+u*v', и уравнение примет вид u'*v+u*v'-u*v-2*cos(2*x)=v*(u'-u)+u*v'-2*cos(2*x)=0. Положим u'-u=0. Решая это уравнение, находим u=e^x. Подставляя это выражение в уравнение, приходим к уравнению e^x*v'-2*cos(2*x)=0, которое приводится к виду v'=2*e^(-x)*cos(2*x), или dv=2*e^(-x)*cos(2*x)*dx. Интегрируя, находим v=4/5*e^(-x)*sin(2*x)-2/5*e^(-x)**cos(2*x)+C1. Отсюда z=u*v=4/5*sin(2*x)-2/5*cos(2*x)+C1*e^x и y=∫z*dx=-4/10*cos(2*x)-2/10*sin(2*x)+C1*e^x+C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные. Используя теперь краевые условия, получаем систему уравнений:
C1+C2=7/5
C1*e^π+C2=7/5.
Решая её, находим C1=0, C2=7/5. Тогда искомое частное решение y1=-4/10*cos(2*x)-2/10*sin(2*x)+7/5.
Проверка:
y1'=8/10*sin(2*x)-4/10*cos(2*x), y1"=16/10*cos(2*x)+8/10*sin(2*x), y1"-y1'=20/10*cos(2*x)=2*cos(2*x), так что дифференциальному уравнению найденное решение удовлетворяет. Полагая теперь x=0 и x=π, получаем два одинаковых тождества 1=-4/10+7/5, или 1=1. Значит, найденное решение удовлетворяет и краевым условиям.
1. 1) 5*5=25 - солдатиков в 1 каре 5х5; 2) 4*4=16 - солдатиков в 1 каре 4х4; 3) (150-25)/16=7,8 - возможное число каре 4х4; 4) 7*16+25=137 - предположительное количество солдатиков, но тогда не получиться каре (количество рядов равно количеству солдатиков в каждом ряду); Тогда каре 4х4 должно быть меньше, чтобы все соответствовало условиям. Предположим, что было 6 каре 4х4, тогда: 6*16+25=121 11*11=121 - все сходиться. ответ: У Пети был 121 солдатик
2. 1) 1/3 дороги - это 150 км (450/3=150); 2) Найдем оставшуюся часть дороги: 450-150=300 км 3) 1/5 оставшейся дороги, которую он проехал за 1 час, это: 300/5=60 км. 4) Путь, который он ехал со скоростью 80 км/ч: 300-60=240 км 5) найдем время пути: время первого участка: t1=s/v=150/75=2 ч; время второго участка = 1 ч; время третьего участка: t1=s/v=240/80=3 ч Общее время: 2+1+3=6 часов. 6) Постоянная скорость: v=s/t=450/6=75 км/ч
ответ: y=-4/10*cos(2*x)-2/10*sin(2*x)+7/5.
Пошаговое объяснение:
Пусть y'=z, тогда y"=z' и уравнение перепишется в виде z'-z-2*cos(2*x)=0. Это линейное уравнение 1-го порядка, поэтому положим z=u*v. Тогда z'=u'*v+u*v', и уравнение примет вид u'*v+u*v'-u*v-2*cos(2*x)=v*(u'-u)+u*v'-2*cos(2*x)=0. Положим u'-u=0. Решая это уравнение, находим u=e^x. Подставляя это выражение в уравнение, приходим к уравнению e^x*v'-2*cos(2*x)=0, которое приводится к виду v'=2*e^(-x)*cos(2*x), или dv=2*e^(-x)*cos(2*x)*dx. Интегрируя, находим v=4/5*e^(-x)*sin(2*x)-2/5*e^(-x)**cos(2*x)+C1. Отсюда z=u*v=4/5*sin(2*x)-2/5*cos(2*x)+C1*e^x и y=∫z*dx=-4/10*cos(2*x)-2/10*sin(2*x)+C1*e^x+C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные. Используя теперь краевые условия, получаем систему уравнений:
C1+C2=7/5
C1*e^π+C2=7/5.
Решая её, находим C1=0, C2=7/5. Тогда искомое частное решение y1=-4/10*cos(2*x)-2/10*sin(2*x)+7/5.
Проверка:
y1'=8/10*sin(2*x)-4/10*cos(2*x), y1"=16/10*cos(2*x)+8/10*sin(2*x), y1"-y1'=20/10*cos(2*x)=2*cos(2*x), так что дифференциальному уравнению найденное решение удовлетворяет. Полагая теперь x=0 и x=π, получаем два одинаковых тождества 1=-4/10+7/5, или 1=1. Значит, найденное решение удовлетворяет и краевым условиям.