Question

Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна корню из 8 и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да. най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. приложение

Answer 1

Для решения задачи нам потребуется формула для объема параллелепипеда:

V = a * b * h,

где a, b и h - длины сторон параллелепипеда.

Дается, что диагональ параллелепипеда равна √8 и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда.

Для нахождения длины сторон параллелепипеда, нам понадобятся три основных свойства прямоугольного треугольника, основанные на теореме Пифагора:

1. sin(x) = противолежащий катет / гипотенуза,
2. cos(x) = прилежащий катет / гипотенуза,
3. tan(x) = противолежащий катет / прилежащий катет.

Перейдем к решению задачи:

Из условия задачи мы знаем, что диагональ параллелепипеда равна √8, и она образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда.

Прилежащими катетами будут длины сторон параллелепипеда a и b, и противолежащим катетом будет длина h (высота параллелепипеда).

Для начала найдем прилежащие катеты a и b.

Из свойств проекций векторов и углов мы можем сосчитать их:

cos(30) = a / √8,
cos(30) = b / √8.

Подставим значения и решим уравнения:

√3/2 = a / √8,
√3/2 = b / √8.

Переведем в единичную форму:

√3 = a / (2 * √2),
√3 = b / (2 * √2).

Умножим обе части уравнений на 2 * √2:

2 * √2 * √3 = a,
2 * √2 * √3 = b.

Упростим:

2 * √6 = a,
2 * √6 = b.

Теперь найдем противолежащий катет h (высоту параллелепипеда).

Так как диагональ параллелепипеда образует угол 45 градусов с плоскостями граней, то можно применить теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = h^2.

Подставим найденные значения a и b в уравнение:

(2 * √6)^2 + (2 * √6)^2 = h^2.

Упростим:

24 + 24 = h^2,
48 = h^2.

Найдем квадратный корень от обеих сторон:

√48 = √h^2,
2 * √12 = h.

Теперь нашли все стороны параллелепипеда: a = 2 * √6, b = 2 * √6, h = 2 * √12.

Теперь посчитаем объем параллелепипеда, подставив найденные значения:

V = a * b * h,
V = (2 * √6) * (2 * √6) * (2 * √12),
V = 8 * 6 * √12,
V = 48√12.

Таким образом, объем параллелепипеда равен 48√12.