Для решения данной задачи, мы должны определить размеры цилиндрического бака, которые минимизируют количество материала, используемого при его изготовлении.
Поверхность бака состоит из двух частей: двух круговых оснований и боковой поверхности. Для определения площади боковой поверхности, нам необходимо знать высоту и окружность основания.
Пусть r обозначает радиус основания, а h - высоту цилиндра.
Площадь боковой поверхности cylinder = 2πrh.
Также, объем цилиндра равен πr²h.
У нас есть следующий уравнения для нахождения объема бака:
πr²h = 65,536π.
Для решения этого уравнения, мы можем выразить одну из переменных через другую и заменить ее в формуле площади боковой поверхности.
Выразим высоту h через радиус r из уравнения объема:
h = 65,536 / r².
Теперь заменим выражение для h в формуле площади боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности cylinder = 2πr(65,536 / r²).
Упростим эту формулу:
Площадь боковой поверхности cylinder = 131,072 / r.
Теперь у нас есть формула для площади боковой поверхности в зависимости от радиуса основания.
Чтобы найти радиус, который минимизирует площадь боковой поверхности, мы должны найти точку экстремума этой функции. Для этого возьмем производную по радиусу и приравняем ее к нулю.
d(Площадь боковой поверхности cylinder)/dr = 0.
Производная функции равна -131,072 / r².
Приравнивая эту производную к нулю, получаем:
-131,072 / r² = 0.
Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому решения не существует. Это означает, что функция не имеет экстремума и нет определенного значения радиуса, которое минимизирует площадь боковой поверхности.
Таким образом, чтобы наименьшее количество материала использовалось при изготовлении бака с заданным объемом, мы не можем выбрать конкретные размеры для радиуса и высоты цилиндра. Но мы всегда можем найти соотношение между высотой и радиусом, которое минимизирует площадь боковой поверхности.
Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Поверхность бака состоит из двух частей: двух круговых оснований и боковой поверхности. Для определения площади боковой поверхности, нам необходимо знать высоту и окружность основания.
Пусть r обозначает радиус основания, а h - высоту цилиндра.
Площадь боковой поверхности cylinder = 2πrh.
Также, объем цилиндра равен πr²h.
У нас есть следующий уравнения для нахождения объема бака:
πr²h = 65,536π.
Для решения этого уравнения, мы можем выразить одну из переменных через другую и заменить ее в формуле площади боковой поверхности.
Выразим высоту h через радиус r из уравнения объема:
h = 65,536 / r².
Теперь заменим выражение для h в формуле площади боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности cylinder = 2πr(65,536 / r²).
Упростим эту формулу:
Площадь боковой поверхности cylinder = 131,072 / r.
Теперь у нас есть формула для площади боковой поверхности в зависимости от радиуса основания.
Чтобы найти радиус, который минимизирует площадь боковой поверхности, мы должны найти точку экстремума этой функции. Для этого возьмем производную по радиусу и приравняем ее к нулю.
d(Площадь боковой поверхности cylinder)/dr = 0.
Производная функции равна -131,072 / r².
Приравнивая эту производную к нулю, получаем:
-131,072 / r² = 0.
Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому решения не существует. Это означает, что функция не имеет экстремума и нет определенного значения радиуса, которое минимизирует площадь боковой поверхности.
Таким образом, чтобы наименьшее количество материала использовалось при изготовлении бака с заданным объемом, мы не можем выбрать конкретные размеры для радиуса и высоты цилиндра. Но мы всегда можем найти соотношение между высотой и радиусом, которое минимизирует площадь боковой поверхности.
Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!