13/((x^2 + 4)(x+3)) Убеждаемся, что знаменатель разложить на более "мелкие" множители мы уже не можем: x^2 + 4 =0 - корней нет, значит, разложить на множители не получится
(A*x + B)/(x^2 + 4) + C/(x+3) = 13/((x^2 + 4)(x+3)) - представляем нашу дробь в виде суммы таких дробей. Приводим к более наглядному виду: (А*x^2 + 3A*x + B*x + 3B + C*x^2 + 4C) = 13. Знаменатели опустил, т.к. они одинаковые и очевидные. Составляем простенькую систему уравнений, приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями: A + C = 0 3A + B = 0 3B + 4C = 13
A = - C B = -3A = 3C 9C + 4C = 13
C = 1 A =-1 B =3
Т.о. исходный интеграл свели к сумме двух интегралов: S (3-x)/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3)dx При этом первый можно разбить еще на два: S 3/(x^2 + 4) dx - S x/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3) dx S 3/(x^2 + 4) dx = (3/2)*arctg(x/2) + C - табличный интеграл S 1/(x + 3) dx = ln(x + 3) + c - табличный S x/(x^2 + 4) dx = 1/2 *S 1/(x^2 + 4) d(x^2 + 4) = 0.5 * ln(x^2 + 4) + c - аналогично предыдущему. ответ: (3/2)*arctg(x/2) + ln(x + 3) + (1/2)* ln(x^2 + 4) + c
Cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·cosx/128 ( умножаем и делим всё это на 2sinx/128) (cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·2cosx/128·sinx/128)/(2sinx/128)= (cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·cosx/64·sinx/64)/(2sinx/128) Умножаем числитель и знаменатель на 2, чтобы получить 2-ной угол в числителе (cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·2cosx/64·sinx/64)/(4sinx/128) = (cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·2cosx/32·sinx/32)/(8sinx/128)= (cosx·cosx/2·cosx/4·cosx/8·...·2cosx/16·sinx/16)/(16sinx/128)= (cosx·cosx/2·cosx/4·2cosx/8·sinx/8)/(32sinx/128)= (cosx·cosx/2·2cosx/4·sinx/4)/(64sinx/128)= (cosx·2cosx/2·sinx/2)/(128sinx/128)= (2cosx·sinx)/(256sinx/128)=(sin2x)/(256·sinx/128)
