Тогда 1/X₁ и 1/X₂ - корни f(1/X) X₁ + X₂ + 1/X₁ + 1/X₂ = 0 (обознач. равенство 1) - по условию; X₁ и 1/X₁ - одного знака; X₂ и 1/X₂ - одного знака; ⇒ X₁ и X₂ - разных знаков, иначе не будет выполнено (1); Пусть X₁ > 0, не умаляя общности, т.к. иначе можно поменять X₁ и X₂ местами; Пусть X₁ ≥1, не умаляя общности, т.к. иначе можно заменить на 1/X₁; Пусть также X₂ ≤ -1, по тем же причинам; (1) ⇒ X₁ + 1/X₁ = -(X₂ + 1/X₂) (обознач. 2) X₁ + 1/X₁ строго возрастает при X₁ ≥ 1; -(X₂ + 1/X₂) строго убывает при X₂ ≤ -1; ⇒ X₁ + 1/X₁ = k имеет не более одного решения при X₁ ≥ 1; и X₂ + 1/X₂ = L имеет не более одного решения при X₂ ≤ -1; X₁ = -X₂ является решением (2) и единственным, как описано выше; Значит, X₁ + X₂ = 0.
2) Пусть X₁ = 0 или X₂ = 0, тогда у f(1/X) будет менее двух корней, а значит и у f(x) · f(1/X) будет менее 4 корней (а по условию их четыре).
Исти Венецианова принадлежит портретная галерея его современников: художник писал Н. В. Гоголя (1834), В. П. Кочубея (1830-е), Н. М. Карамзина (1828). На звание академика Венецианову было предложено написать портрет инспектора Воспитательного училища Академии К. И. Головачевского. А. Г. Венецианов изобразил его в окружении трёх мальчиков, символизировавших союз «трех знатнейших художеств»: живописи, скульптуры и архитектуры. Портрет также олицетворял единство старой Академии (К. Головачевский, будучи соучеником А. И. Лосенко, считался патриархом Академии) с новой. Однако наибольшую известность А. Г. Венецианову принесли написанные им образы крестьян. «Жнецы», «Спящий пастушок», «Захарка» уже почти два столетия своей свежестью и искренностью привлекают внимание зрителя.
А. Г. Венецианов. Жнецы В 1808 году А. Венецианов издаёт «Журнал карикатур», который вскоре был запрещен. Журнал представлял собой гравированные листы: «Аллегорическое изображение двенадцати месяцев», «Катание на санях», «Вельможа». Сатирическое изображение влиятельного сановника, как полагают, и вызвало гнев Александра I.
Кисти Венецианова принадлежали также иконы для собора всех учебных заведений (Смольного собора), для церкви Обуховской градской больнице. В последний год жизни художник работал над иконами для церкви пансиона дворянского юношества в Твери.
Работал также в технике пастели по бумаге и пергаменту. Рисовальщик, занимался литографией.
А. Г. Венецианов — автор теоретических статей и заметок: «Секрет Липмановских картин», «Нечто о перспективе», «О системе преподавания в рисовальных классах». Выйдя в отставку, в первое время Павел Андреевич избрал для себя батальный жанр как область искусства, в которой уже успешно попробовал свои силы и которая в николаевскую эпоху сулила почёт и материальное обеспечение. Поселившись в бедной квартире в одной из дальних линий Васильевского острова, довольствуясь 15-копеечным обедом из кухмистерской, он ещё усерднее прежнего принялся упражняться в рисовании и написании этюдов с натуры как дома, так и в академических классах.
Чтобы расширить круг своих батальных сюжетов, ограничивавшихся до этого пехотой, Павел Андреевич стал изучать скелет и мускулатуру лошади под руководством профессора Заурвейда. Из произведений, задуманных Федотовым в эту пору, но оставшихся только в эскизах, замечательнейшими, по отзыву его друзей, были «Французские мародёры в русской деревне в 1812 г.», «Переход егерей вброд через реку на манёврах», «Вечерние увеселения в казармах по случаю полкового праздника» и несколько композиций на тему «Казарменная жизнь», сочинённых под влиянием Хогарта.
Остроумие, тонкая наблюдательность, умение подмечать типичные черты людей разных сословий, знание обстановки их жизни передать характер человека — все эти свойства таланта, ярко проявлявшиеся в рисунках Федотова, указывали на то, что истинным призванием художника являлась жанровая живопись. В этом выборе художнику отчасти письмо баснописца Крылова, который видел некоторые работы Федотова и посоветовал ему заняться жанровой живописью. Послушавшись этого совета, по имевшимся в его альбоме наброскам Павел Андреевич написал маслом одну за другой две картины: «Свежий кавалер» (1848, другое название: «Утро чиновника, получившего первый крест») (1846) и «Разборчивая невеста» (1847, на сюжет басни Крылова).
Павел Федотов, «Сватовство майора» (1848), Третьяковская галерея Федотов показал их Брюллову, всесильному в те годы в Академии художеств, который пришёл в восторг. Советом Академии Федотов был выдвинут на звание академика и получил денежное пособие, что позволило ему продолжить начатую картину «Сватовство майора» (1848, 1851 — второй вариант).
