Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство 
Введем обозначения 
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство 
. Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим 
.
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть 
– компоненты связности, 
. Тогда при "переносе" одной вершины из 
в 
число ребер увеличится на 
– а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно 
Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
Почему при выборе профессии так важно учитывать все положительные и отрицательные черты характера?
При выборе профессии важно учитывать все черты характера. Дело в том, что каждая профессия подразумевает наличие определенных качеств. Например, продавец должен быть доброжелательным, бухгалтер - внимательным, почтальон - подвижным. От положительных и отрицательных сторон человека зависит как ход труда, так и его результат. Поэтому прежде, чем выбрать профессию, необходимо полностью понять, какими качествами должен обладать ее представитель.
30 мин = 0,5 ч
(х + 0,5) ч - затратил велосипедист на путь по грунтовой дороге
(32х) км - проехал велосипедист по шоссе
16(х + 0,5) км проехал велосипедист по грунтовой дороге
(32х + 16(х + 0,5)) км -всего проехал велосипедист
Зная, что всего велосипедист проехал 128 км, составим и решим уравнение.
Уравнение.
32х + 16(х + 0,5) = 128
32х + 16х + 8 = 128
48х + 8 = 128
48х = 128 - 8
х = 128 : 48
х = 2,5
2,5 ч = 150 мин
ответ. На путь по шоссе велосипедист затратил 150 минут.