Пусть в осевом сечении квадрат ABCD, с диагональю АС = 4 см.
1) Диагональ АС является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника АВС, поскольку ABCD - квадрат, и следовательно АВ=ВС
АВ^2 + ВС^2 = АС^2
2•АВ^2 = АС^2
2•АВ^2 = 4^2
2•АВ^2 = 16
АВ^2 = 16/2
АВ^2 = 8
АВ = ВС = √8 = √(4•2) = 2√2 см - длина стороны квадрата в осевом сечении цилиндра.
2) Диаметр круга в основании цилиндра равен длине стороны квадрата:
D = 2√2 см.
R = D/2
R = (2√2)/2 = √2 см - радиус круга в основании цилиндра.
3) Sбок.пов. = С•h - площадь боковой поверхности цилиндра, где С - длина окружности цилиндра,
h - высота цилиндра.
C = пD
D - диаметр круга в основании.
h = 2√2 см.
D = 2√2 см
п = 3,14
Sбок.пов = 3,14 • 2√2 • 2√2 =
= 3,14 • 8 = 25,12 кв.см - площадь боковой поверхности цилиндра.
4) Sполн.пов. = С•h + 2пR^2, то есть сумма площади боковой поверхности цилиндра и двух площадей (верхнего и нижнего) оснований, где R - радиус круга в основании цилиндра.
Sполн.пов =
=25,12 + 2•3,14 • (√2)^2 =
= 25,12 + 6,28 • 2 =
= 25,12 + 12,56 = 37,68 кв.см - площадь полной поверхности цилиндра.
5) V = h•пR^2 - объем цилиндра.
V = 2√2 • 3,14 • (√2)^2 =
= 6,28√2 • 2 = 12,56√2 куб.см
(или, если извлечь корень из 2)
= примерно 12,56• 1,41=
= примерно 17,7096 куб.см - объем цилиндра.
Заметим, что периметр шоколадки станет равным 10, если она будет состоять из прямоугольников 1 x 4 или 2 x 3, т. е. по одной стороне одна клетка, по другой 4 или по одной 2 клетки, по другой 3. По условию Петя начинает игру первый. Покажем, что у него существует выигрышная стратегия. Допустим, что после его очередного хода шоколадка приняла форму квадрата со сторонами 5 x 5. В этом случае, какой бы ход ни сделал Вася, Петя побеждает следующим ходом. Это наглядно показано на рисунке. Следовательно, Петина стратегия заключается в урезании шоколадки на каждом своем ходу до квадрата. На первом ходу он отламывает от шоколадки кусок 1 x 2019, превращая шоколадку в квадрат 2019 x 2019. Затем каждый раз, когда Вася отламывает n клеток по горизонтали, Петя отламывает n клеток по вертикали, превращая шоколадку в квадрат размером (2019-n) x (2019-n). В результате найдется Васин ход, после которого по горизонтали или по вертикали шоколадки останется не более пяти клеток. Следующим своим ходом Петя либо сразу побеждает, если клеток менее пяти, либо урезает шоколадку до квадрата размером 5 x 5, если клеток ровно 5. Далее после любого Васиного хода Петя побеждает согласно рисунку ниже.
