1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
AK=BF=CD.
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
R=2r.
№ 1.
А С D B
х см (х + 4) см 2 · (х + 4) см
АВ = 40 см
АС = х см
CD = (х + 4) см
DB = 2 · (х + 4) = (2х + 8) см
Уравнение:
х + х + 4 + 2х + 8 = 40
4х = 40 - 4 - 8
4х = 28
х = 28 : 4
х = 7
ответ: 7 см - длина отрезка АС.
№ 2.
Пусть х кг овощей продали во второй день, тогда (х + 170) кг - в первый день, (х - 120) кг - в третий день. Всего 1400 кг. Уравнение:
х + х + 170 + х - 120 = 1400
3х = 1400 - 170 + 120
3х = 1350
х = 1350 : 3
х = 450
ответ: 450 кг овощей продали во второй день.
